Gegeben sei ein endlicher W-Raum (zugehörig zu einem ZE). Eine Funktion , die jedem möglichen Ergebnis eine reelle Zahl zuordnet, heißt diskrete Zufallsvariable (ZV).
Die Menge aller Werte (Realisationen), die die ZV annehmen kann, nennt man das Bild von .
Ist eine ZV, so schreibt man für eine Zahl auch
(Man beachte, dass und folglich ist, falls ist.)
Um eine diskrete ZV zu untersuchen, kann man oft auf eine Beschreibung des W-Raumes verzichten und nur das Bild sowie die Wahrscheinlichkeiten für angeben. Zusammen nennt man dies die Wahrscheinlichkeitsverteilung (W-Verteilung) von .
Es gilt stets:
(Eine Beschreibung des W-Raumes kann aber manchmal helfen, um die Wahrscheinlichkeiten überhaupt zu bestimmen.)
Wahrschienlichkeitsverteilungen, unabhängig davon, ob sie stetig oder diskret sind, sind immer Modelle, welche die Realität mehr oder weniger gut abbilden.
Die ZV gibt die Augenzahl eines Würfels an. Dann hat man und . Also: und
Die ZV gibt die das Quadrat der Augenzahl eines Würfels an. Dann hat man und . Also: und
Die ZV beschreibt die Augensumme zweier Würfel. Dann hat man und . Also: und
Bei einem Glücksspiel befinden sich rote, schwarze und weiße Kugeln in einer Lostrommel.
- Man darf eine Kugel ziehen. Zieht man die Rote gewinnt man Euro, zieht man eine Schwarze gewinnt man Euro, zieht man eine Weiße gewinnt man nichts. Die ZV , die den Gewinn beschreibt, hat als Bild und es gilt:
- Nun darf man zwei Kugeln mit Zurücklegen ziehen. Die ZV beschreibt den Gesamtgewinn. Man berechnet und:
- Nun darf man zwei Kugeln ohne Zurücklegen ziehen. Die ZV beschreibt den Gesamtgewinn. Man berechnet und:
(Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten können durch die Aufstellung eines geeigneten W-Raums bestimmt werden, man kann aber auch anders vorgehen, z.B. mittels Erstellung von Baumdiagrammen.)
Erwartungswert und Standardabweichung einer diskreten ZV
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Sei ein endlicher oder abzählbarer W-Raum und eine (diskrete) ZV auf . Dann heißen:
Für die Varianz gilt ebenso wie für die empirische Varianz der Verschiebungssatz: Für eine endliche ZV , die die Werte annehmen kann, gilt stets:
(vergleiche Beispiele)
Für die ZV gilt:
- Der Erwartungswert von ist:
Die Varianz von ist:
Daraus ergibt sich .
- Der Erwartungswert von ist:
Die Varianz von ist:
Daraus ergibt sich .
- Der Erwartungswert von ist:
Die Varianz von ist:
Daraus ergibt sich .
Für die ZV gilt:
- ,
- ,
- ,
Der Erwartungswert gibt den " im Durchschnitt zu erwartenden Wert einer ZV " an, die Varianz gibt die " im Durchschnitt zu erwartende quadratische Abweichung vom Erwartungswert " an. Die Standardabweichung ist ein Maß für die "zu erwartende Schwankung (Streuung) ".
Geben Sie im Folgenden die angegebenen Informationen und die gesuchten Werte als Wahrscheinlichkeiten bzw. als bedingte Wahrscheinlichkeiten an:
Jeder vierte Bewohner eines Ortes besitzt einen Garten. der Gartenbesitzer haben ein Haustier, von den Übrigen haben nur ein Haustier.
- Wie hoch ist der Anteil der Bewohner, die ein Haustier besitzen?
- Wie hoch ist der Anteil der Gartenbesitzer unter denen, die ein Haustier besitzen? Wie hoch ist der Anteil der Gartenbesitzer unter denen, die kein Haustier besitzen?
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