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Kurs:Statistik für Anwender/Zufallsvariablen

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Zufallsvariablen

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Diskrete Zufallsvariable und Bild

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Gegeben sei ein endlicher W-Raum (zugehörig zu einem ZE). Eine Funktion , die jedem möglichen Ergebnis eine reelle Zahl zuordnet, heißt diskrete Zufallsvariable (ZV).

Die Menge aller Werte (Realisationen), die die ZV annehmen kann, nennt man das Bild von .

Ist eine ZV, so schreibt man für eine Zahl auch


(Man beachte, dass und folglich ist, falls ist.)

Wahrscheinlichkeitsverteilung

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Um eine diskrete ZV zu untersuchen, kann man oft auf eine Beschreibung des W-Raumes verzichten und nur das Bild sowie die Wahrscheinlichkeiten für angeben. Zusammen nennt man dies die Wahrscheinlichkeitsverteilung (W-Verteilung) von .
Es gilt stets:
(Eine Beschreibung des W-Raumes kann aber manchmal helfen, um die Wahrscheinlichkeiten überhaupt zu bestimmen.)


W-Verteilung und Modelle

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Wahrschienlichkeitsverteilungen, unabhängig davon, ob sie stetig oder diskret sind, sind immer Modelle, welche die Realität mehr oder weniger gut abbilden.


Beispiele

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Beispiel I

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Die ZV gibt die Augenzahl eines Würfels an. Dann hat man und . Also: und

Beispiel II

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Die ZV gibt die das Quadrat der Augenzahl eines Würfels an. Dann hat man und . Also: und

Beispiel III

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Die ZV beschreibt die Augensumme zweier Würfel. Dann hat man und . Also: und

Beispiel IV

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Bei einem Glücksspiel befinden sich rote, schwarze und weiße Kugeln in einer Lostrommel.

  • Man darf eine Kugel ziehen. Zieht man die Rote gewinnt man Euro, zieht man eine Schwarze gewinnt man Euro, zieht man eine Weiße gewinnt man nichts. Die ZV , die den Gewinn beschreibt, hat als Bild und es gilt:

Beispiel V

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  • Nun darf man zwei Kugeln mit Zurücklegen ziehen. Die ZV beschreibt den Gesamtgewinn. Man berechnet und:

Beispiel VI

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  • Nun darf man zwei Kugeln ohne Zurücklegen ziehen. Die ZV beschreibt den Gesamtgewinn. Man berechnet und:

    (Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten können durch die Aufstellung eines geeigneten W-Raums bestimmt werden, man kann aber auch anders vorgehen, z.B. mittels Erstellung von Baumdiagrammen.)

Erwartungswert und Standardabweichung einer diskreten ZV

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Sei ein endlicher oder abzählbarer W-Raum und eine (diskrete) ZV auf . Dann heißen:

Verschiebungssatz

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Für die Varianz gilt ebenso wie für die empirische Varianz der Verschiebungssatz: Für eine endliche ZV , die die Werte annehmen kann, gilt stets:


Beispiele

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(vergleiche Beispiele)

Beispiel I

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Für die ZV gilt:

  • Der Erwartungswert von ist:

    Die Varianz von ist:

    Daraus ergibt sich .
  • Der Erwartungswert von ist:

    Die Varianz von ist:

    Daraus ergibt sich .

Beispiel II

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  • Der Erwartungswert von ist:

    Die Varianz von ist:

    Daraus ergibt sich .

Beispiel III

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Für die ZV gilt:

  • ,
  • ,
  • ,

Anmerkung

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Der Erwartungswert gibt den " im Durchschnitt zu erwartenden Wert einer ZV " an, die Varianz gibt die " im Durchschnitt zu erwartende quadratische Abweichung vom Erwartungswert " an. Die Standardabweichung ist ein Maß für die "zu erwartende Schwankung (Streuung) ".

Aufgabe

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Geben Sie im Folgenden die angegebenen Informationen und die gesuchten Werte als Wahrscheinlichkeiten bzw. als bedingte Wahrscheinlichkeiten an:
Jeder vierte Bewohner eines Ortes besitzt einen Garten. der Gartenbesitzer haben ein Haustier, von den Übrigen haben nur ein Haustier.

  • Wie hoch ist der Anteil der Bewohner, die ein Haustier besitzen?
  • Wie hoch ist der Anteil der Gartenbesitzer unter denen, die ein Haustier besitzen? Wie hoch ist der Anteil der Gartenbesitzer unter denen, die kein Haustier besitzen?

Seiteninformation

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Wiki2Reveal

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Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Statistik für Anwender' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.