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Kurs:Statistik für Anwender/Hilfsmittel: Punkt- und Intervallschätzung bei stetigen ZV

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Hilfsmittel: Punkt- und Intervallschätzung bei stetigen ZV

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Motivation I

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In der Praxis ist die W-Dichte einer stetigen ZV (analog zur Wahrscheinlichkeitsverteilung einer endlichen ZV) meist nicht bekannt. Manchmal können jedoch bestimmte Annahmen sinnvoll sein, wie etwa, welcher Verteilung (näherungsweise) genügt.

Informationen über liegen meist in Form einer Stichprobe von unabhängig und unter gleichen Bedingungen erhaltenen Realisationen vor. Anhand dieser Daten kann man nun interessierende Kennwerte der ZV schätzen.

Motivation II

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ZV mit unbekannter W-Dichte Daten

Schätzung für unbekannte Parameter der ZV


Punktschätzungen - Schätzung für EW und Varianz

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Sei eine beliebige (diskrete oder stetige) ZV. Dabei sind der EW und die Varianz von unbekannt.

  • wird geschätzt durch: (arithmetischer Mittelwert)
  • wird geschätzt durch:
    (empirische Varianz oder korrigierte Stichprobenvarianz)

Berechnung in R

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In R berechnet man:
mean(x) und
var(x) oder sd(x)^2

Erwartungstreue und Konsistenz

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Diese beiden Schätzungen sind in jedem Fall erwartungstreu und konsistent:

Erwartungstreu
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Die Ergebnisse der Schätzungen (also und ) sind zwar vom Zufall abhängig, der erwartete Durchschnitt  der Schätzung entspricht aber dem unbekannten zu schätzenden Wert (also bzw. ).

Präziser gesagt:
Vor Erhebung der Stichprobe können und als ZV aufgefasst werden. Dann gilt:

Konsistent
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Ist sehr groß so sind die Schätzungen mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe am wahren Wert. Also

Präziser gesagt: Vor Erhebung der Stichprobe können und als ZV aufgefasst werden. Dann gilt für festes :

und

Beispiel zur Konsistenz I

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Wir betrachten eine normalverteilte ZV mit und unbekanntem Erwartungswert . Dann ist der arithmetische Mittelwert (als ZV aufgefasst) zu einer Stichprobe der Länge ebenfalls normalverteilt (dies wollen wir hier nicht begründen) mit und . Daraus folgt:

  • Falls ist, gilt:

Beispiel zur Konsistenz II

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  • Falls ist, gilt:

Beispiel zur Konsistenz III

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  • Falls ist, gilt:

Grundlagen der Intervallschätzung

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Ziel ist es nun, auch Intervallschätzungen für unbekannte Parameter von stetigen ZV anzugeben. Dazu benötigen wir Kenntnisse über einige weitere Verteilungen (-Verteilung und -Verteilung), die üblicherweise nicht direkt als Modell für ein ZE verwendet werden. Sie treten aber bespielsweise auf, wenn man stetige ZV auf geeignete Art und Weise verknüpft und werden daher bei der Berechnung von Konfidenzintervallen für die Parameter dieser Verteilungen benötigt.

In diesem Abschnitt wollen wir diese Verteilungen definieren und ihre wichtigsten Eigenschaften zusammenfassen. Als weiteres Hilfsmittel brauchen wir dazu die Gamma-Funktion.

Gamma-Funktion

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Definition Gamma-Funktion
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Die Gamma-Funktion ist definiert durch:

Gamma-Funktion in R
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In R berechnet man für durch gamma(x).

Werte der Gamma-Funktion auf den ganzen und halben Zahlen
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  • Für alle gilt:
  • Für alle gilt:
Beispiel zur Gamma-Funktion
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Es gilt:

t-Verteilung

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Definition t-Verteilung
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Sei gegeben.

Eine ZV mit der W-Dichte
heißt -verteilt mit Freiheitsgraden (FG).

Verteilungsfunktion einer t-Verteilung
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Die Verteilungsfunktion einer -verteilten ZV mit FG bezeichnen wir mit :

Beispiel t-Verteilung
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image

Beispiel t-Verteilung interaktiv
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Interaktive Shiny-App zur t-Verteilung:
Download und Link

t-Verteilung und Normalverteilung
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Für große nähert sich die -Verteilung einer Standardnormalverteilung an (also für große ).

t-Verteilung in R
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Für eine -verteilte ZV mit FG berechnet man in R:

  • die Funktionswerte der W-Dichte von durch:
  • die Funktionswerte der VF von durch:
  • die Wahrscheinlichkeit für durch:
  • für die Zahl mit durch:

Χ2-Verteilung

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Definition Χ2-Verteilung
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Sei gegeben.

Eine ZV mit der W-Dichte

heißt Χ2 -verteilt mit Freiheitsgraden (FG).

Verteilungsfunktion Χ2-Verteilung
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Die Verteilungsfunktion einer -verteilten ZV mit FG bezeichnen wir mit :

  • für :

  • für :
Beispiel Χ2-Verteilung
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image

Beispiel Χ2-Verteilung interaktiv
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Interaktive Shiny-App zur Chi-Quadrat-Verteilung:
Download und Link

Χ2-Verteilung in R
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Für eine -verteilte ZV mit FG berechnet man in R:

  • die Funktionswerte der W-Dichte von durch:
  • die Funktionswerte der VF von durch:
  • die Wahrscheinlichkeit für durch:
  • für die Zahl mit durch:

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