Hilfsmittel: Punkt- und Intervallschätzung bei stetigen ZV
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In der Praxis ist die W-Dichte einer stetigen ZV (analog zur Wahrscheinlichkeitsverteilung einer endlichen ZV) meist nicht bekannt. Manchmal können jedoch bestimmte Annahmen sinnvoll sein, wie etwa, welcher Verteilung (näherungsweise) genügt.
Informationen über liegen meist in Form einer Stichprobe von unabhängig und unter gleichen Bedingungen erhaltenen Realisationen vor. Anhand dieser Daten kann man nun interessierende Kennwerte der ZV schätzen.
ZV mit unbekannter W-Dichte Daten
Schätzung für unbekannte Parameter der ZV
Punktschätzungen - Schätzung für EW und Varianz
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Sei eine beliebige (diskrete oder stetige) ZV. Dabei sind der EW und die Varianz von unbekannt.
- wird geschätzt durch: (arithmetischer Mittelwert)
- wird geschätzt durch:
(empirische Varianz oder korrigierte Stichprobenvarianz)
In R berechnet man:
mean(x) und
var(x) oder sd(x)^2
Diese beiden Schätzungen sind in jedem Fall erwartungstreu und konsistent:
Die Ergebnisse der Schätzungen (also und ) sind zwar vom Zufall abhängig, der erwartete Durchschnitt der Schätzung entspricht aber dem unbekannten zu schätzenden Wert (also bzw. ).
Präziser gesagt:
Vor Erhebung der Stichprobe können und als ZV aufgefasst werden. Dann gilt:
Ist sehr groß so sind die Schätzungen mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe am wahren Wert. Also
Präziser gesagt: Vor Erhebung der Stichprobe können und als ZV aufgefasst werden. Dann gilt für festes :
und
Wir betrachten eine normalverteilte ZV mit und unbekanntem Erwartungswert . Dann ist der arithmetische Mittelwert (als ZV aufgefasst) zu einer Stichprobe der Länge ebenfalls normalverteilt (dies wollen wir hier nicht begründen) mit und . Daraus folgt:
- Falls ist, gilt:
- Falls ist, gilt:
- Falls ist, gilt:
Ziel ist es nun, auch Intervallschätzungen für unbekannte Parameter von stetigen ZV anzugeben. Dazu benötigen wir Kenntnisse über einige weitere Verteilungen (-Verteilung und -Verteilung), die üblicherweise nicht direkt als Modell für ein ZE verwendet werden. Sie treten aber bespielsweise auf, wenn man stetige ZV auf geeignete Art und Weise verknüpft und werden daher bei der Berechnung von Konfidenzintervallen für die Parameter dieser Verteilungen benötigt.
In diesem Abschnitt wollen wir diese Verteilungen definieren und ihre wichtigsten Eigenschaften zusammenfassen. Als weiteres Hilfsmittel brauchen wir dazu die Gamma-Funktion.
Die Gamma-Funktion ist definiert durch:
In R berechnet man für durch gamma(x).
Werte der Gamma-Funktion auf den ganzen und halben Zahlen
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- Für alle gilt:
- Für alle gilt:
Es gilt:
Sei gegeben.
Eine ZV mit der W-Dichte
heißt -verteilt mit Freiheitsgraden (FG).
Verteilungsfunktion einer t-Verteilung
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Die Verteilungsfunktion einer -verteilten ZV mit FG bezeichnen wir mit :
Interaktive Shiny-App zur t-Verteilung:
Download und Link
Für große nähert sich die -Verteilung einer Standardnormalverteilung an (also für große ).
Für eine -verteilte ZV mit FG berechnet man in
R:
- die Funktionswerte der W-Dichte von durch:
- die Funktionswerte der VF von durch:
- die Wahrscheinlichkeit für durch:
- für die Zahl mit durch:
Sei gegeben.
Eine ZV mit der W-Dichte
heißt Χ2 -verteilt mit Freiheitsgraden (FG).
Die Verteilungsfunktion einer -verteilten ZV mit FG bezeichnen wir mit :
Interaktive Shiny-App zur Chi-Quadrat-Verteilung:
Download und Link
Für eine -verteilte ZV mit FG berechnet man in R:
- die Funktionswerte der W-Dichte von durch:
- die Funktionswerte der VF von durch:
- die Wahrscheinlichkeit für durch:
- für die Zahl mit durch:
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