Zufallsvariablen , bei denen alle reelle Zahlen (oder zumindest alle aus einem bestimmten Intervall) als Werte auftreten können, nennt man stetig, wenn sie wie folgt mit einer Dichtefunktion beschrieben werden können:
Die Wahrscheinlichkeit, dass einen Wert in annimmt, entspricht also der Fläche unter dem Graphen von auf dem Intervall . Die Bedingung ist somit zwingend notwendig, denn sie besagt, dass ist.
Bei einer stetigen Zufallsvariablen muss der zugrundeliegende W-Raum eine Ergebnismenge mit haben. Im Rahmen dieser Vorlesung wollen wir uns allerdings nicht mit solchen unendlichen W-Räumen beschäftigen. Wir haben aber bereits gesehen, dass man ZV untersuchen kann, ohne den W-Raum, auf dem sie definiert sind, exakt zu beschreiben. Für stetige ZV genügt es, die Dichtefunktion anzugeben, um viele relevante Aussagen über folgern. (Bei diskreten ZV arbeitet man entsprechend mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung.)
Beispiel 1 - Definition polynomiale Dichtefunktion[Bearbeiten]
Die Funktion
ist eine Dichtefunktion, denn es gilt:
Beispiel 1.1 - Berechnung von Wahrscheinlichkeiten[Bearbeiten]
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ZV mit dieser Dichtefunktion in einen bestimmten Bereich fällt, kann durch ein Integral ausgerechnet werden, beispielsweise:
Beispiel 1.2 - Visualisierung von Wahrscheinlichkeiten[Bearbeiten]
Beispiel 2 - Definition Dichtefunktion[Bearbeiten]
ist eine Dichtefunktion, denn es ist
Beispiel 2.1 - Berechnung von Wahrscheinlichkeiten[Bearbeiten]
Für eine ZV mit dieser Dichtefunktion gilt beispielsweise:
Beispiel 2.2 - Visualisierung von Wahrscheinlichkeiten[Bearbeiten]
Beispiel 3 - Definition Dichtefunktion aus Rechteckverteilungen[Bearbeiten]
ist eine Dichtefunktion.
Beispiel 3.1 - Zusammensetzung aus Verteilung[Bearbeiten]
Normalerweise sind Recheckverteilung (wie alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen) normiert (). Bei zusammengesetzten Verteilungen verwendet man eine Zerlegeung der 1 (d.h. mit ). Im obigen Beispiel hat die Dichtefunktion auf der Rechteckverteilung auf den Funktionwert , damit die Rechteckverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung normiert ist. Die zusammengesetzte Verteilung ergibt sich dann aus:
Beispiel 3.2 - Normiertheit zusammengesetzter Verteilungen[Bearbeiten]
Beispiel 3.3 - Visualisierung von Wahrscheinlichkeiten[Bearbeiten]
Beispiel 3.4 - Bestimmung der Teilung der 1[Bearbeiten]
Im obigen Beispiel wäre bei der Zerlegung der 1 . Berechnen Sie die anderen für die verbleibenden Rechteckverteilungen
Bemerkung 3.5 - Verwendung der Teilung der 1[Bearbeiten]
Aus unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsdichten kann man so eine zusammengesetzte Verteilung konstruieren, wobei die die Gewichtungsfaktoren bei der Teilung der 1 festlegen, mit welchen Anteil die Dichtefunktion in die Gesamtverteilung eingeht.
Für alle mit gilt: Kennt man die Verteilungsfunktion einer ZV , so kann man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einen bestimmten Bereich fällt, also leicht ausrechnen.
Falls stetig ist, ist eine Stammfunktion zu , also für alle . (Genauer gesagt ist die Stammfunktion von mit .)
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeiten für
Erwartungswert und Standardabweichung einer stetigen ZV[Bearbeiten]
Ist eine stetige ZV mit Dichtefunktion , so nennt man
Erwartungswert von ,
Varianz von und Standardabweichung von . (Theoretisch ist es möglich, dass diese Integrale den Wert annehmen oder sogar nicht existieren. Für die in der Praxis relevanten Dichtefunktionen kommt dies jedoch nicht vor.)
Bestimmen Sie den Erwartungswert sowie die Varianz für die Dichtefunktion
Rechenregeln für EW und Varianz für stetige ZV[Bearbeiten]
Dieselben Rechenregeln, die für EW und Varianz von diskreten ZV gelten, gelten auch für stetige ZV, also:
Sind stetige ZV und sind , so gilt:
Sind stetige ZV, so gilt:
Modellierung von ZV mittels Dichtefunktion I[Bearbeiten]
Stetige ZV dienen (ebenso wie diskrete ZV) zur Beschreibung von Wahrscheinlichkeiten bei einem ZE. (Diese Wahrscheinlichkeiten beziehen sich auf zukünftige Durchführungen des ZE.)
Verwendet man bei einem ZE zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten eine ganz bestimmte W-Dichte, so handelt es sich dabei lediglich um ein Modell für die vorliegende (vom Zufall beeinflusste) Situation. Man kann dann aber innerhalb des Modells (also mit gegebener Dichtefunktion) weiterarbeiten und z.B. bestimmte Wahrscheinlichkeiten oder Erwartungswert und Varianz berechnen.
Modellierung von ZV mittels Dichtefunktion II[Bearbeiten]
Die wahre Dichtefunktion einer ZV ist im Allgemeinen nicht bekannt.
Ein zentrales Ziel in der schließenden Statistik ist es, Methoden zu entwickeln, mit denen man anhand von vorliegenden Daten (d.h. einer Stichprobe für die ZV) das vorliegende Modell (also eine für dieses ZE geeignete W-Dichte) entwickeln, ergänzen (z.B durch Parameterschätzungen) oder überprüfen (z.B. mit einem Hypothesentest) kann.
Ein Linienbus fährt alle Minuten. Ein Student, der seine Uhr verloren hat, kommt zur Bushaltestelle. Die ZV , die seine Wartezeit (in Minuten) beschreibt, kann mit der folgenden Dichtefunktion gut modelliert werden:
Überlegen Sie sich zu obigen Beispielen, wie eine Dichtefunktion in etwa aussehen könnte. Erstellen Sie jeweils eine Skizze. (Eine Funktionsgleichung kann nicht ohne weiteres angegeben werden.)
Zusammenhang zwischen Histogrammen und der W-Dichte von :
Da sich die relativen Klassenhäufigkeiten zu summieren, beträgt die Summe der Flächeninhalte aller Rechtecke eines Histogramms stets . Ebenso ist auch die Fläche zwischen der -Achse und dem Graphen der W-Dichte von stets .
Beobachtung: Bei einer sehr hohen Versuchszahl n und sehr kleinen Klassenbreiten nähert sich das Histogramm mit hoher Wahrscheinlichkeit der W-Dichte an.
Für praktische Anwendungen werden häufig bestimmte Typen stetiger ZV als Modell verwendet. Dazu gehören (unter anderem) gleich-, exponential- und normalverteilte ZV. Diese Verteilungsarten (und ihre Eigenschaften) sollen hier kurz vorgestellt werden. Außerdem soll die besondere Bedeutung der Normalverteilung (im Zusammenhang mit dem Zentralen Grenzverteilungssatz) erklärt werden.