Kurs:Stochastik/Aufgaben Tutorium

Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit

Aufgabe 1.1:

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn in folgenden Zufallsexperimenten:

a) Ein sechsseitiger Würfel wird geworfen. Sie gewinnen, wenn die Augenzahl 5 fällt.

b) Aus einem Skatkartenspiel mit 32 Karten wird eine Karte gezogen. Sie gewinnen, wenn die gezogene Karte ein König ist.

c) In einer Lostrommel sind 20 % Gewinnlose und 80 % Nieten

Aufgabe 1.2:

Beim Roulette bleibt eine Kugel auf einem der 37 Felder stehen, welche mit den Nummern 0 ... 36 nummeriert sind. 18 Felder sind rot bzw. schwarz, das Feld mit der Zahl 0 ist grün. Bestimmen Sie den Ergebnisraum. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit Beispiele der folgenden Ereignisse.

E1: Die Kugel bleibt auf dem Feld mit der Zahl 4 stehen
E2: Die Kugel bleibt auf einem roten Feld stehen
E3: Die Kugel bleibt auf einem schwarzen Feld stehen
E4: Die Kugel bleibt auf einem grünen Feld stehen

Aufgabe 1.3:

In einer Urne befinden sich 40 Kugeln, welche jeweils mit den Zahlen 1 ... 40 nummeriert sind. Es wird zufällig eine der Kugeln gezogen. Betrachten Sie die folgenden Ereignisse E_1, E_2, ... , E_6. Welche Wahrscheinlichkeiten haben die jeweiligen Ereignisse ?

E1: Eine Kugel, die mit einer Primzahl beschriftet ist, wird gezogen.
E2: Die Nummer ist ungerade
E3: Die Nummer ist durch 6 teilbar.
E4: Die Nummer ist größer als 24
E5: Die Nummer ist eine einstellige Zahl

Aufgabe 1.4:

Aus einem Skatkartenspiel mit 32 Karten wird eine Karte gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse:

A1: Es wird eine Bildkarte gezogen.
A2: Es wird eine schwarze Karte gezogen.
A3: Es wird eine Zahlkarte gezogen.
A4: Es wird eine Karo-Karte gezogen

Aufgabe 1.5:

Ein sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

A: Die geworfene Augenzahl ist größer als 3
B: Die geworfene Zahl ist eine Primzahl
C: Die geworfene Zahl ist ein vielfaches von 2
D: Die geworfene Zahl ist zwischen 2 und 4

Aufgabe 1.6:

Ein roter und ein blauer Würfel werden gleichzeitig geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

A: Beide Würfel zeigen die gleiche Zahl an.
B: Die Augensumme beträgt 4.
C: Augensumme beträgt zwischen 3 und 5

Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten

Siehe Axiome von Kolmogorow in Wikipedia

Aufgabe 2.1

Ein sechsseitiger Spielwürfel wurde von einem LKW überfahren und ist nicht mehr symmetrisch. Die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Augenzahlen unterscheiden sich daher. In folgender Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten für die jeweilige Augenzahl gegeben:

Augenzahl	1	2	3	4	5	6
Wahrscheinlichkeit	0,17	0,12	0,21	0,16	0,17	0,17

a) Dieser Würfel wird einmal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse:

E1: Eine gerade Zahl wird geworfen.
E2: Die geworfene Zahl ist durch 3 teilbar.
E3: Die geworfene Zahl ist größer als 3
E4: Die geworfene Zahl ist eine Primzahl

b) Überlegen Sie sich, wie ein Urnenexperiment ausgestaltet sein müsste, damit das beschriebene Würfelexperiment durch ziehen einer Kugel simuliert werden kann.

Aufgabe 2.2

In einer Urne befinden sich 50 gleichartige Kugeln, welche mit den Nummern 1,...,50 nummeriert sind. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:

A: Die Zahl ist durch 6 teilbar.
B: Die Zahl ist durch 15 teilbar.
C: Die Zahl ist durch 6 und 15 teilbar.
D: Die Zahl ist durch 6 oder 15 teilbar.
E: Die Zahl ist durch 7 und 4 teilbar
F: Die Zahl ist durch 7 oder 4 teilbar

Aufgabe 2.3

Ein sechsseitiger Würfel wird zweimal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

E1: Beim ersten oder beim zweiten Wurf wird die Augenzahl 5 geworfen.
E2: Beim ersten und beim zweiten Wurf wird die Augenzahl 5 geworfen.
E3: Beim ersten oder beim zweiten Wurf wird eine Augenzahl größer als 4 geworfen.
E4: Beim ersten und beim zweiten Wurf wird eine Augenzahl größer als 4 geworfen.

Aufgabe 2.4

Aus einem Skatkartenspiel (32 Karten) wird zufällig eine Karte gezogen. Welche Wahrscheinlichkeiten haben folgende Ereignisse:

A: Die gezogene Karte ist rot oder Herz
B: Die gezogene Karte ist schwarz oder trägt eine Zahl
C: Die gezogene Karte ist schwarz und trägt eine Zahl
D: Die gezogene Karte ist ein Bube oder eine Dame

Aufgabe 2.5

In einer Urne befinden sich 100 Kugeln, welche mit den Nummern 1,...,100 nummeriert sind. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $A,B$ und $C$ sowie die Wahrscheinlichkeiten der Gegenereignisse ${\overline {A}},{\overline {B}}$ und ${\overline {C}}$

A: Die Zahl ist eine Primzahl
B: Die Zahl ist größer als 80
C: Die Zahl liegt zwischen 15 und 69

Aufgabe 2.6

Ein sechsseitiger Würfel wird dreimal geworfen und die Augenzahl jeweils notiert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

die Augensumme beträgt mindestens 3
die Augensumme beträgt mindestens 5
die Augensumme ist kleiner als 17

Tip: Berechnen Sie zunächst die Wahrscheinlichkeit für das jeweilige Gegenereignis.

Pfadregeln

Aufgabe 3.1

Erstellen Sie für die folgend beschriebenen Zufallsversuche jeweils ein Baumdiagramm

eine Münze wird fünfmal geworfen
ein Würfel wird dreimal geworfen