Kurs:Stochastik/Bernoulli-Experiment/weitere Eigenschaften

Eigenschaften

Variationskoeffizient

Die Bernoulliverteilung hat folgenden Variationskoeffizient

$\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {q}{p}}}$

Symmetrie

Für den Parameter $p={\tfrac {1}{2}}$ ist die Bernoulli-Verteilung symmetrisch um den Punkt $a={\tfrac {1}{2}}$.

Schiefe

Die Schiefe der Bernoulli-Verteilung ist

$\operatorname {v} (X)={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}$

Dies kann folgendermaßen gezeigt werden. Eine standardisierte Zufallsvariable ${\frac {X-\operatorname {E} (X)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}}$ mit $X$ Bernoulli-verteilt nimmt den Wert ${\frac {q}{\sqrt {pq}}}$ mit Wahrscheinlichkeit $p$ an und den Wert $-{\frac {p}{\sqrt {pq}}}$ mit Wahrscheinlichkeit $q$. Damit erhalten wir für die Schiefe

${\begin{aligned}\operatorname {v} (X)&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} (X)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}}\right)^{3}\right]\\&=p\cdot \left({\frac {q}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}+q\cdot \left(-{\frac {p}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}\\&={\frac {1}{{\sqrt {pq}}^{3}}}\left(pq^{3}-qp^{3}\right)\\&={\frac {pq}{{\sqrt {pq}}^{3}}}(q-p)\\&={\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}\end{aligned}}$

Wölbung und Exzess

Der Exzess der Bernoulli-Verteilung ist

$\gamma (X)={\frac {1-6pq}{pq}}$

und damit ist die Wölbung

$\beta _{2}(X)={\frac {1-3pq}{pq}}$

Momente

Alle k-ten Momente $m_{k}$ sind gleich und es gilt

$m_{k}=p$.

Es ist nämlich

$m_{k}=E\left(X^{k}\right)=p\cdot 1^{k}+q\cdot 0^{k}=p$.

Entropie

Die Entropie der Bernoulli-Verteilung ist

$\mathrm {H} =-q\log _{2}(q)-p\log _{2}(p)$

gemessen in Bit.

Modus

Der Modus der Bernoulli-Verteilung ist

$x_{D}={\begin{cases}0&{\text{falls }}\quad q>p\\0;1&{\text{falls }}\quad q=p\\1&{\text{falls }}\quad q<p\end{cases}}$.

Median

Der Median der Bernoulli-Verteilung ist

${\tilde {m}}_{X}={\begin{cases}0&{\text{falls }}\quad q>p,\\1&{\text{falls }}\quad q<p,\end{cases}}$

falls $p=q$ gilt, ist jedes ${\tilde {m}}_{X}\in [0,1]$ ein Median.

Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

$g_{X}(t)=\ln(pe^{t}+q)$.

Damit sind die ersten Kumulanten $\kappa _{1}=p,\kappa _{2}=pq$ und es gilt die Rekursionsgleichung

$\kappa _{n+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{n}}{dp}}.$

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist

$m_{X}(t)=1-p+pt$

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist

$\varphi _{X}(t)=1-p+pe^{\mathrm {i} t}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist

$M_{X}(t)=1-p+pe^{t}$