Kurs:Stochastik/Binomialverteilung

Binomialverteilung

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ Wahrscheinlichkeitsraum. Wir fixieren ein Ereignis $A\subset \Omega _{1}$ und setzen $p=P(A)$ ("Erfolgswahrscheinlichkeit").

Mit $b(k;n,p)$ bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass bei n-maliger unabhängiger Wiederholung des Zufallsexperimentes $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ genau k-mal das Ereignis $A$ auftritt. Behauptung:

b(k;n,p)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k};k=0,1,...,n

Beweis

Auf dem Produktraum $(\Omega ,P),\Omega =\Omega _{1}^{n},P=P_{1}\times ...\times P_{1},$ ( $P$ besteht aus n Faktoren), definieren wie die Zufallsvariablen $X_{1},...X_{n}$ gemäß

X_{i}((w_{1},...,w_{n}))=\left\{{\begin{array}{ll}1,&w_{i}\in A\\0,&sonst\end{array}}\right.

("Ereignis tritt bei i-ter Wiederholung ein/nicht ein").

$X_{i}$ hat die sogenannte Binomialverteilung: $P(X_{i}=1)=p,P(X_{i}=0)=1-p$ .

Die Zufallsvariablen $X_{1},...,X_{n}$ sind unabhängig. Setze

X=X_{1}+...+X_{n},

("Häufigkeit des Auftretens von A")

dann ist $P(X=k)=b(k;n,p)$ .

Bemerkung

Zur Berechnung von $b(k;n,p)$ :
Für jede der ${\binom {n}{k}}$ Zerlegungen $\lbrace 1,...,n\rbrace =\lbrace i_{1},...,i_{k}\rbrace \cup \lbrace j_{1},...,j_{n-k}\rbrace$ (disjunkt) gilt:

P(X_{i_{1}}=1,...,X_{i_{k}}=1,X_{j_{1}}=0,...,X_{j_{n-k}}=0)

=P(X_{i_{1}}=1)\cdot ...\cdot P(X_{j_{n-k}}=0)=p^{k}(1-p)^{n-k}

Also: $P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$

Binomnalverteilung (Definition)

Durch die Formel der Binomialverteilung auf $\lbrace 1,...,n\rbrace$ definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$ , kurz $B(n,p)$ -Verteilung, $n\in \mathbb {N} ,0\leq p\leq 1$ .

Die $B(1,p)$ -Verteilung heißt auch Bernoulliverteilung, das oben beschriebene Produktexperiment heißt auch Bernoulliexperiment. Man sagt: Die (oben definierte) Zufallsvariable $X$ ist $B(n,p)$ -verteilt.

Für unabhängige Zufallsvariablen $X_{1},...,X_{n}$ läßt sich die Verteilung der $P_{X}$ der Summe $X=X_{1}+...+X_{n}$ explizit auf den Randverteilungen berechnen.

Satz

Sind $X_{1},...,X_{n}$ unabhängige Zufallsvariablen auf $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ , so gilt für die Verteilung $P_{X}$ von $X=X_{1}+...+X_{n}$ :

P_{X}(\lbrace x\rbrace )=\sum _{(x_{1},...,x_{n})\in X_{1}(\Omega )\times ...\times X_{n}(\Omega )}P_{X_{1}}(\lbrace x_{1}\rbrace )\cdot ...\cdot P_{X_{n}}(\lbrace x_{n}\rbrace )

für alle $x\in X(\Omega )$ .

Beweis

Zerlegung von $\lbrace X=x\rbrace$ in paarweise disjunkte Mengen $A_{(X_{1},...,X_{n})}=\langle X_{1}=x_{1},...,X_{n}=x_{n}\rangle ,X_{1}+...+X_{n}=X$ . Im Fall $n=2$ lautet die Behauptung für $x\in (X_{1}+X_{2})(\Omega )$