Kurs:Stochastik/Binomialverteilung

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Binominalverteilung[Bearbeiten]

Sei Wahrscheinlichkeitsraum. Wir fixieren ein Ereignis und setzen ("Erfolgswahrscheinlichkeit").

Mit bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass bei n-maliger unabhängiger Wiederholung des Zufallsexperimentes genau k-mal das Ereignis auftritt. Behauptung:

Beweis[Bearbeiten]

Auf dem Produktraum ( besteht aus n Faktoren), definieren wie die Zufallsvariablen gemäß

("Ereignis tritt bei i-ter Wiederholung ein/nicht ein").

hat die sogenannte Binominalverteilung: .

Die Zufallsvariablen sind unabhängig. Setze

("Häufigkeit des Auftretens von A")

dann ist .

Bemerkung[Bearbeiten]

Zur Berechnung von :
Für jede der Zerlegungen (disjunkt) gilt:

Also:

Binomnalverteilung (Definition)[Bearbeiten]

Durch die Formel der Binominalverteilung auf definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binominalverteilung mit den Parametern und , kurz -Verteilung, .

Die -Verteilung heißt auch Bernoulliverteilung, das oben beschriebene Produktexperiment heißt auch Bernoulliexperiment. Man sagt: Die (oben definierte) Zufallsvariable ist -verteilt.

Für unabhängige Zufallsvariablen läßt sich die Verteilung der der Summe explizit auf den Randverteilungen berechnen.

Satz[Bearbeiten]

Sind unabhängige Zufallsvariablen auf , so gilt für die Verteilung von :

für alle .

Beweis[Bearbeiten]

Zerlegung von in paarweise disjunkte Mengen . Im Fall lautet die Behauptung für

Faltung (Definition)[Bearbeiten]

Die im obigen Satz angegebene Verteilung von heißt Faltung der Verteilung .

Notation:

Beispiel[Bearbeiten]

-Verteilung ist eine Faltung von -Verteilungen:

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