Kurs:Theoretische Mechanik

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Theoretische Physik 1 - Mechanik

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Fachbereich Physik

Fachbereich Physik

Theoretische Physik

Autor
  • Wolf (Student / wenig Zeit)
Korrektoren

N.N.

Literaturempfehlung
  • Nolting - Theoretische Physik 1
Weiterentwicklung

Sporadisch


Mathematische Grundlagen[Bearbeiten]

Einstein'sche Summenkonvention[Bearbeiten]


Die Einstein'sche Summenkonvention wurde 1916 von Einstein als Mathematische Grundlage zur Allgemeinen Relativitätstheorie vorgeschlagen und wird mittlerweile hauptsächlich in der theoretischen Physik verwendet. Sie besteht darin, das Summenzeichen wegzulassen und stattdessen über in Produkten doppelt auftretende Indizes zu summieren. Dadurch reduziert sich der Schreibaufwand. Man sollte nur stets im Hinterkopf behalten, dass es sich trotzdem um Summen handelt.

Beispiele:


Weiterführendes:

Tensoren[Bearbeiten]


  • Ein Tensor n.Stufe hat Elemente. Ein Tensor 2. Stufe also


Levi-Civita-Symbol[Bearbeiten]


Definition


Levi-Civita-Symbol im R^3

Aber was heißt das? Das Levi-Civita-Symbol ist ein invarianter, total antisymmetrischer (Pseudo-)Tensor n-ter Stufe.

Im gilt:

Daraus folgt:

Die Herleitung der Determinantenschreibweise ist als Übungsaufgabe aufgelistet, die Lösung steht dabei.


Beispiel im :

Mit als normale kartesische Einheitsvektoren:

Gerade Permutation:

Ungerade Permutation:

Zwei gleiche Indizes:

Kronecker-Delta[Bearbeiten]


Das Kronecker-Delta ist ein Tensor zweiter Stufe mit zwei Indizes, i und j. Es wird hauptsächlich in Summenformeln bei Vektor- und Matrizenrechnung verwendet.

Definition


Daraus folgt im dreidimensionalem euklidischem Raum mit den Einheitsvektoren :


Beispiel

für folgt

für mit z.B. folgt:

Übungsaufgaben[Bearbeiten]


Levi-Civita-und Kronecker-Delta
Hinweis: Da die Übungsaufgaben aufeinander aufbauen, bietet es sich an sie in der Reihenfolge 
zu bearbeiten.

1.) Zeige: Lösung

2.) Zeige: Lösung

3.) Zeige: Lösung

4.) Zeige: Lösung

5.) Zeige: Lösung

6.) Zeige: Lösung (Lösung fehlt noch!)

7.) Zeige: (Lösung fehlt noch!)

Differentialoperator[Bearbeiten]



* Ein Differentialoperator ist kein Vektor im eigentlichen Sinne!
* Man kann Differentialoperatoren nicht kürzen oder mit ihnen erweitern!
* Existiert nur an Stellen, wo die Funktion nach allen Koordinaten stetig differenzierbar ist
* Satz von Schwarz für zweifach stetig differenzierbare Funktionen



Nabla[Bearbeiten]

Der Nabla-Operator bildet die partiellen Ableitungen einer Funktion nach den verschiedenen Koordinaten.


Gradient[Bearbeiten]

Der Gradient , auch , ist als der Vektor, der durch das partielle Ableiten eines Skalarfeldes entsteht, definiert. Er existiert nur an den Stellen, wo das Skalarfeld nach allen Koordinaten partiell stetig differenzierbar ist.


Für ein Skalarfeld  im n-dimensionalem euklidischem Raum gilt:


Divergenz[Bearbeiten]

Im n-dimensionalem euklidischen Raum gilt:


Rotor (oft auch Rotation)[Bearbeiten]

Im n-dimensionalem euklidischen Raum gilt:


Für folgt:

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

Differentialoperatoren grad, div, rot
Hinweis: Alle Skalarfelder, Vektorfelder sind zweifach stetig differenzierbar.
  • 1.) Zeige: Lösung
  • 2.) Zeige: Lösung (noch nicht vorhanden)
  • 3.) Zeige: Lösung (noch nicht vorhanden)

Koordinatentransformation[Bearbeiten]

Verschiebung (Translation)[Bearbeiten]

Verschiebung

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Drehung (Rotation)[Bearbeiten]

Drehung gegen den Uhrzeigersinn


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Raum, Zeit und Bewegung[Bearbeiten]

Newton'sche Dynamik[Bearbeiten]

Bewegung eines Massenpunktes[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]