Kurs:Theoretische Mechanik/Lösungen

Theoretische Physik 1 - Mechanik (Lösung zu den Übungsaufgaben)

Hinweis: Natürlich alles ohne Gewähr. Wenn jemand Fehler findet, bitte melden! Bessere Lösungswege einfach als 2.Möglichkeit hinzufügen.

Mathematische Grundlagen

Tensoren

Levi-Civita als Determinante

$\varepsilon _{ijk}={\vec {e}}_{i}({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k})=\sum _{a=1}^{3}e_{i,a}({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k})_{a}=\sum _{a=1}^{3}\sum _{b,c=1}^{3}\varepsilon _{abc}e_{i,a}e_{j,b}e_{k,c}=$

$\!\,=e_{i,1}(e_{j,2}e_{k,3}-e_{j,3}e_{k,2})-e_{i,2}(e_{j,3}e_{k,1}-e_{j,1}e_{k,3})+e_{i,3}(e_{j,1}e_{k,2}-e_{j,2}e_{k,1})=$

$=e_{i,1}{\begin{vmatrix}e_{j,2}&e_{j,3}\\e_{k,2}&e_{k,3}\end{vmatrix}}+e_{i,2}{\begin{vmatrix}e_{j,1}&e_{j,3}\\e_{k,1}&e_{k,3}\end{vmatrix}}+e_{i,3}{\begin{vmatrix}e_{j,1}&e_{j,2}\\e_{k,1}&e_{k,2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}e_{i,1}&e_{i,2}&e_{i,3}\\e_{j,1}&e_{j,2}&e_{j,3}\\e_{k,1}&e_{k,2}&e_{k,3}\end{vmatrix}}$

Identität XYZ

1. Möglichkeit

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ilm}={\begin{vmatrix}e_{i,1}&e_{i,2}&e_{i,3}\\e_{j,1}&e_{j,2}&e_{j,3}\\e_{k,1}&e_{k,2}&e_{k,3}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}e_{i,1}&e_{i,2}&e_{i,3}\\e_{l,1}&e_{l,2}&e_{l,3}\\e_{m,1}&e_{m,2}&e_{m,3}\end{vmatrix}}=$

$={\begin{vmatrix}e_{i,1}e_{i,1}+e_{i,2}e_{j,1}+e_{i,3}e_{k,1}&e_{i,1}e_{i,2}+e_{i,2}e_{j,2}+e_{i,3}e_{k,2}&e_{i,1}e_{i,3}+e_{i,2}e_{j,3}+e_{i,3}e_{k,3}\\e_{l,1}e_{i,1}+e_{l,2}e_{j,1}+e_{l,3}e_{k,1}&e_{l,1}e_{i,2}+e_{l,2}e_{j,2}+e_{l,3}e_{k,2}&e_{l,1}e_{i,3}+e_{l,2}e_{j,3}+e_{l,3}e_{k,3}\\e_{m,1}e_{i,1}+e_{m,2}e_{j,1}+e_{m,3}e_{k,1}&e_{m,1}e_{i,2}+e_{m,2}e_{j,2}+e_{m,3}e_{k,2}&e_{m,1}e_{i,3}+e_{m,2}e_{j,3}+e_{m,3}e_{k,3}\end{vmatrix}}$

Für ein rechtsdrehendes, orthonormales Koordinatensystem mit den Einheitsvektoren , folgt: Mit: ${\vec {e}}_{i}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\vec {e}}_{j}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\vec {e}}_{k}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

$={\begin{vmatrix}1\cdot 1+0\cdot 0+0\cdot 0&1\cdot 0+0\cdot 1+0\cdot 0&1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 1\\e_{l,1}\cdot 1+e_{l,2}\cdot 0+e_{l,3}\cdot 0&e_{l,1}\cdot 0+e_{l,2}\cdot 1+e_{l,3}\cdot 0&e_{l,1}\cdot 0+e_{l,2}\cdot 0+e_{l,3}\cdot 1\\e_{m,1}\cdot 1+e_{m,2}\cdot 0+e_{m,3}\cdot 0&e_{m,1}\cdot 0+e_{m,2}\cdot 1+e_{m,3}\cdot 0&e_{m,1}\cdot 0+e_{m,2}\cdot 0+e_{m,3}\cdot 1\end{vmatrix}}$

$={\begin{vmatrix}e_{i,1}e_{i,1}&e_{i,2}e_{j,2}&e_{i,3}e_{k,3}\\e_{l,1}e_{i,1}&e_{l,2}e_{j,2}&e_{l,3}e_{k,3}\\e_{m,1}e_{i,1}&e_{m,2}e_{j,2}&e_{m,3}e_{k,3}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0&0\\e_{l,1}e_{i,2}&e_{l,2}e_{j,2}&e_{l,3}e_{k,3}\\e_{m,1}e_{i,1}&e_{m,2}e_{j,2}&e_{m,3}e_{k,3}\end{vmatrix}}$

Wir haben $\varepsilon _{ijk}={\vec {e}}_{i}({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k})$ und $\varepsilon _{ilm}={\vec {e}}_{i}({\vec {e}}_{l}\times {\vec {e}}_{m})$. Wenn ${\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{l},{\vec {e}}_{m}$ ein rechtsdrehendes Koordinatensystem bilden, folgt:

${\vec {e}}_{i}\perp {\vec {e}}_{l}=>e_{l,1}e_{i,2}=0$

${\vec {e}}_{i}\perp {\vec {e}}_{m}=>e_{m,1}e_{i,1}=0$

${\begin{vmatrix}1&0&0\\0&e_{l,2}e_{j,2}&e_{l,3}e_{k,3}\\0&e_{m,2}e_{j,2}&e_{m,3}e_{k,3}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0&0\\0&\delta _{jl}&\delta _{kl}\\0&\delta _{jm}&\delta _{km}\end{vmatrix}}=1\cdot {\begin{vmatrix}\delta _{jl}&\delta _{kl}\\\delta _{jm}&\delta _{km}\end{vmatrix}}=\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}$

2. Möglichkeit

Für j=k oder l=m verschwindet das Kreuzprodukt. Für j≠k und l≠m gilt: Das doppelte Kreuzprodukt verschwindet, wenn nicht j=l oder k=m

Spatprodukt

Aufgabenstellung: Zeige: ${\vec {c}}({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {a}}({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}({\vec {c}}\times {\vec {a}})$

Lösung:

${\vec {c}}({\vec {a}}\times {\vec {b}})=\varepsilon _{ijk}c_{i}a_{j}b_{k}=\varepsilon$

da $\varepsilon _{ijk}=\varepsilon _{jki}=\varepsilon _{kij}$ folgt:

$\varepsilon _{ijk}c_{i}a_{j}b_{k}=\varepsilon _{jki}c_{i}a_{j}b_{k}$ bzw. $\varepsilon _{ijk}c_{i}a_{j}b_{k}=\varepsilon _{kij}c_{i}a_{j}b_{k}$

Durch Vertauschen der Indizes folgt:

$\varepsilon _{jki}c_{i}a_{j}b_{k}=\varepsilon _{ijk}c_{k}a_{i}b_{j}=c_{k}a_{i}b_{j}({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k}){\vec {e}}_{i}={\vec {a}}({\vec {b}}\times {\vec {c}})$

bzw.

$\varepsilon _{kij}c_{i}a_{j}b_{k}=\varepsilon _{ijk}c_{j}a_{k}b_{i}=c_{j}a_{k}b_{i}({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k}){\vec {e}}_{i}={\vec {b}}({\vec {c}}\times {\vec {a}})$

Graßmann-Identität

---

$[{\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})]_{k}=\sum _{i,j}\varepsilon _{ijk}a_{i}({\vec {b}}\times {\vec {c}})_{j}=\sum _{i,j}\sum _{l,m}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{jlm}a_{i}b_{l}c_{m}$

Da wir unsere Freunde so nennen dürfen wie wir wollen, vertauschen wir die Indizes i und j damit der nächste Schritt "offensichtlich" ist:

$\sum _{j,i}\sum _{l,m}\varepsilon _{jik}\varepsilon _{ilm}a_{j}b_{l}c_{m}$

Wir benutzen die in Übungsaufgabe 1 bewiesene Identität $\sum _{i}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ilm}=\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}$, dazu verwenden wir $\varepsilon _{jik}=-\varepsilon _{ijk}$ aus der Definition des Levi-Civita-Symbols:

$\sum _{j,i}\sum _{l,m}\varepsilon _{jik}\varepsilon _{ilm}a_{j}b_{l}c_{m}=-\sum _{j,i}\sum _{l,m}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ilm}a_{j}b_{l}c_{m}=-\sum _{j}\sum _{l,m}a_{j}b_{l}c_{m}(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl})$

Und ziehen das Minus vor den Summen zu den Deltas in die Klammer und lösen die Kronecker-Deltas zu Einheitsvektoren auf:

$\sum _{j}\sum _{l,m}a_{j}b_{l}c_{m}(\delta _{jm}\delta _{kl}-\delta _{jl}\delta _{km})=\sum _{j}\sum _{l,m}a_{j}b_{l}c_{m}(({\vec {e}}_{j},{\vec {e}}_{m})({\vec {e}}_{k},{\vec {e}}_{l})-({\vec {e}}_{j},{\vec {e}}_{l})({\vec {e}}_{k},{\vec {e}}_{m}))$

Dann lösen wir die Summe auf:

$(({\vec {a}},{\vec {c}})({\vec {e}}_{k},{\vec {b}})-({\vec {a}},{\vec {b}})({\vec {e}}_{k},{\vec {c}}))=[{\vec {b}}({\vec {a}},{\vec {c}})-{\vec {c}}({\vec {a}},{\vec {b}})]_{k}$

Lagrange-Identität

Da gilt, dass

(AxB) C = A (BxC)

ist

(AxB),(CxD)= AB(CxD) = A(B x (CxD))

Bereits bewiesen wurde, dass

(B x (CxD)) = (BD)C-(BC)D

Somit erhält man:

A(B x (CxD)) = A ((BD)C-(BC)D)=(AC)(BD)-(AD)(BC)

q.e.d.

Differentialoperatoren

div rot A = 0

Hinweis:
Ich glaube ich habe möglicherweise im ersten Lösungsweg einen Denkfehler:
Wenn ich die Indizes i und j vertausche, müsste ich sie ggf. auch in der 
Ausgangsgleichung, mit der ich sie vergleiche, tauschen.

Zeige: $\operatorname {div\ } \operatorname {rot\ } {\vec {A}}=0$

1. Lösung:

$\operatorname {div\ } \operatorname {rot\ } {\vec {A}}=\nabla (\nabla \times {\vec {A}})=\varepsilon _{ijk}\nabla _{i}\nabla _{j}A_{k}$

Nach dem Satz von Schwarz kann man bei zweifach stetig differenzierbaren Funktionen die Differentialoperatoren vertauschen:

$\varepsilon _{ijk}\nabla _{i}\nabla _{j}A_{k}=\varepsilon _{ijk}\nabla _{j}\nabla _{i}A_{k}$

Mit einer ungeraden Permutation des Levi-Civita-Symbols $\varepsilon _{ijk}=-\varepsilon _{jik}$ folgt:

$\varepsilon _{ijk}\nabla _{j}\nabla _{i}A_{k}=-\varepsilon _{jik}\nabla _{j}\nabla _{i}A_{k}$

Da ich meine Indize so nennen kann wie ich will, vertausche ich alle i und j:

$-\varepsilon _{ijk}\nabla _{i}\nabla _{j}A_{k}$

Jetzt haben wir:

$\varepsilon _{ijk}\nabla _{i}\nabla _{j}A_{k}=-\varepsilon _{ijk}\nabla _{i}\nabla _{j}A_{k}$

Daraus folgt:

$\operatorname {div\ } \operatorname {rot\ } {\vec {A}}=0$

Alternative Lösung:

Mit der in Übungsaufgabe 1.2 gezeigten Identität:

$\operatorname {div\ } \operatorname {rot\ } {\vec {A}}=\nabla _{1}(\nabla _{2}\times {\vec {A}})={\vec {A}}(\nabla _{1}\times \nabla _{2})$

Nach dem Satz von Schwarz folgt $(\nabla _{1}\times \nabla _{2})={\vec {0}}$ und dadurch:

$\operatorname {div\ } \operatorname {rot\ } {\vec {A}}=0$

rot grad B = 0

Zeige: $\operatorname {rot\ } \operatorname {grad\ } B=0$

Lösung:(in Arbeit - mit Sicherheit noch falsch ;-) )

$\operatorname {rot\ } \operatorname {grad\ } B=\nabla \times (\nabla ,B)=\varepsilon _{ijk}\nabla _{j}(\nabla ,B)_{k}{\vec {e}}_{i}=\varepsilon _{ijk}\nabla _{j}\nabla _{k}B{\vec {e}}_{i}$

$=\nabla _{j}\nabla _{k}B{\vec {e}}_{i}({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k}){\vec {e}}_{i}=B(\nabla \times \nabla )\delta _{ii}=B\cdot {\vec {0}}=0$

div grad B = 0

Zeige: $\operatorname {div\ } \operatorname {grad\ } B=0$

Lösung:

Bewegungen

Elektron im E-Feld

Aufgabenstellung:
Ein Elektron (Elementarladung e, Masse m) bewege sich in einem homogenen, ged?ämpft oszillierenden
elektrischen Feld, ${\vec {E}}(t)={\vec {E}}_{0}e^{-\alpha t}\cos(\omega t)$ mit  $\!\,\alpha >0$

a.) Berechne die Bahnkurve ${\vec {r}}(t)$ in Abhängigkeit der Anfangsbedingung ${\vec {r}}_{0}\equiv {\vec {r}}(0)$ und ${\vec {v}}_{0}\equiv {\vec {v}}(0)$

b.) Bestimme die Anfangsbedingungen ${\vec {r}}_{0}$ und ${\vec {v}}_{0}$, für die $\left|{\vec {r}}(t)\right|$ für alle $t\geq 0$ beschränkt bleiben.

Lösung:

Die Bewegungsgleichung ist:

Definitionsgemäß ist die Kraft auf eine Ladung q im elektrischen Feld: $\!\,{\vec {F}}=q\cdot {\vec {E}}$

also: ${\vec {F}}(t)=m{\ddot {x}}={\vec {E}}(t)=-e{\vec {E}}_{0}e^{-\alpha t}\cos(\omega t)$, wobei q = -e, da es sich um ein einzelnes Elektron handelt.

Es gilt: $\cos \omega t={\frac {1}{2}}(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t})$

Durch Einsetzen ergibt sich:

$m{\ddot {x}}=-e{\vec {E}}_{0}e^{-\alpha t}{\frac {1}{2}}(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t})<=>{\ddot {x}}={\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m}}e^{-\alpha t}(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t})$

$<=>{\ddot {x}}={\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m}}e^{-\alpha t+i\omega t}+{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m}}e^{-\alpha t-i\omega t}$

$\!\,x(t)$ ergibt sich durch zweifaches Integrieren von $\!\,{\ddot {x}}(t)$:

${\dot {x}}(t)=\int _{0}^{t}{\ddot {x}}(t')dt'+v_{0}$

${\dot {x}}(t)=v_{0}+\int _{0}^{t}{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m}}e^{-\alpha t'+i\omega t'}+{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m}}e^{-\alpha t'-i\omega t'}dt'$

${\dot {x}}(t)=v_{0}+{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m}}\int _{0}^{t}e^{-\alpha t'+i\omega t'}+e^{-\alpha t'-i\omega t'}dt'$

${\dot {x}}(t)=v_{0}+{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m}}\int _{0}^{t}e^{-\alpha t'+i\omega t'}+e^{-\alpha t'-i\omega t'}dt'$

${\dot {x}}(t)=v_{0}+{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m}}{\biggl [}{\frac {1}{-\alpha +i\omega }}e^{-\alpha t'+i\omega t'}{\biggl ]}_{0}^{t}+{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m}}{\biggl [}{\frac {1}{-\alpha -i\omega }}e^{-\alpha t'-i\omega t'}{\biggl ]}_{0}^{t}$

${\dot {x}}(t)=v_{0}+{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m}}{\biggl (}{\frac {1}{-\alpha +i\omega }}e^{-\alpha t+i\omega t}-{\frac {1}{-\alpha +i\omega }}{\biggl )}+{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m}}{\biggl (}{\frac {1}{-\alpha -i\omega }}e^{-\alpha t-i\omega t}-{\frac {1}{-\alpha -i\omega }}{\biggl )}$

${\dot {x}}(t)=v_{0}+{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m}}{\frac {1}{-\alpha +i\omega }}e^{-\alpha t+i\omega t}-{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m(-\alpha +i\omega )}}+{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m}}{\frac {1}{-\alpha -i\omega }}e^{-\alpha t-i\omega t}-{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m(-\alpha -i\omega )}}$

2. Schritt

$x(t)=\int _{0}^{t}{\dot {x}}(t')dt'+x_{0}$

$x(t)=x_{0}+\int _{0}^{t}v_{0}dt'+\int _{0}^{t}{\frac {-e{\vec {E}}_{0}e^{-\alpha t+i\omega t}}{2m(-\alpha +i\omega )}}dt'-\int _{0}^{t}{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m(-\alpha +i\omega )}}dt'$

$+\int _{0}^{t}{\frac {-e{\vec {E}}_{0}e^{-\alpha t-i\omega t}}{2m(-\alpha -i\omega )}}dt'-\int _{0}^{t}{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m(-\alpha -i\omega )}}dt'$

$x(t)=x_{0}+{\biggl [}v_{0}t'{\biggl ]}_{0}^{t}+{\biggl [}{\frac {-e{\vec {E}}_{0}e^{-\alpha t'+i\omega t'}}{2m(-\alpha +i\omega )^{2}}}{\biggl ]}_{0}^{t}-{\biggl [}{\frac {-e{\vec {E}}_{0}t'}{2m(-\alpha +i\omega )}}{\biggl ]}_{0}^{t}$

$+{\biggl [}{\frac {-e{\vec {E}}_{0}e^{-\alpha t-i\omega t}}{2m(-\alpha -i\omega )^{2}}}{\biggl ]}_{0}^{t}-{\biggl [}{\frac {-e{\vec {E}}_{0}t'}{2m(-\alpha -i\omega )}}{\biggl ]}_{0}^{t}$

$x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\frac {-e{\vec {E}}_{0}e^{-\alpha t+i\omega t}}{2m(-\alpha +i\omega )^{2}}}-{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m(-\alpha +i\omega )^{2}}}-{\frac {-e{\vec {E}}_{0}t}{2m(-\alpha +i\omega )}}$

$+{\frac {-e{\vec {E}}_{0}e^{-\alpha t-i\omega t}}{2m(-\alpha -i\omega )^{2}}}-{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m(-\alpha -i\omega )^{2}}}-{\frac {-e{\vec {E}}_{0}t}{2m(-\alpha -i\omega )}}$

$x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\frac {-e{\vec {E}}_{0}e^{-\alpha t+i\omega t}}{2m(-\alpha +i\omega )^{2}}}+{\frac {-e{\vec {E}}_{0}e^{-\alpha t-i\omega t}}{2m(-\alpha -i\omega )^{2}}}$

$-{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m(-\alpha +i\omega )^{2}}}-{\frac {-e{\vec {E}}_{0}}{2m(-\alpha -i\omega )^{2}}}-{\frac {-e{\vec {E}}_{0}t}{2m(-\alpha -i\omega )}}-{\frac {-e{\vec {E}}_{0}t}{2m(-\alpha +i\omega )}}$

$x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\frac {-e{\vec {E}}_{0}e^{-\alpha t+i\omega t}}{2m(-\alpha +i\omega )^{2}}}+{\frac {-e{\vec {E}}_{0}e^{-\alpha t-i\omega t}}{2m(-\alpha -i\omega )^{2}}}$

$+{\frac {e{\vec {E}}_{0}i\alpha \omega }{m(\alpha ^{2}-\omega ^{2})}}-{\frac {-e{\vec {E}}_{0}t}{2m(-\alpha -i\omega )}}-{\frac {-e{\vec {E}}_{0}t}{2m(-\alpha +i\omega )}}$