Kurs:Vektor-Algebra/Komponentenschreibweise/KOS
Einführung eines kartesischen Basissystems[Bearbeiten]
Lese zur Einführung das Kapital im Wikibook Vektoralgebra nach:
Kartesisches Koordinatensystem
Notiere die Bedeutung der Begriffe:
Rechtssystem Basissystem
Um die Rechnugen zu vereinfachen, hätte man gern die Operationen bei den Vektoren auf die gewöhnliche Arithmetik abgebildet. Die Vektoren sind deswegen auf ein gemeinsames Bezugssystem aus mehreren Basisvektoren zu beziehen, aus denen man alle Vektoren zusammensetzen kann. Die Vektoren werden dabei auf die Basisvektoren projiziert.
Die Projektion besorgt das Skalarprodukt:
V*e= Koordinate
Der Vektor V läßt sich als Summe der Projektionen schreiben.
Die Schreibweise als Tupel ist dabei als Kurzschreibweise zu verstehen. Im Grunde müßte man immer das Basissystem bei dem Tupel kennzeichnen. Meist ist das aber aus dem Kontext erkennbar.
Dass man einen Vektor so schreiben kann oder nach einer Basis entwickeln kann ist ein immer wieder auftauchendes Verfahren. Wir wenden das immer an, um bequem rechnen zu können. Am komfortabelsten ist natürlich die Rechnung in einer Basis zu machen, die möglichst einfache Koordinaten liefert. Unter den einfachen Basissystemen ist am prominentesten die orthonormalen Basissystemen, hier stehen die Basisvektoren senkrecht aufeinander, was man mit dem Skalarprodukt feststellen kann, denn das Skalarprodukt orthogonaler Basisvektoren verschwindet.
Die wichtigsten Zusammenhänge sind die Vollständigkeit- , die Orthonormalitäts-Relationen und ein Entwicklungssatz.
Orthonormalität:
Das Skalarprodukt der Basisvektoren ergibt paarweise Null.
Vollständigkeit:
Die Basisvektoren reichen aus, um den gesamten Vektorraum aufzuspannen.
Entwicklungssatz
Jeder Vektor kann in der Basis dargestellt werden.
Die Orthonormierung von Basisvektoren behandeln wir in einem Exkus.
