Kurs:Vektor-Algebra/Komponentenschreibweise

Komponentenschreibweise

Kartesisches Koordinatensystem

Kartesischen Basissystems

Koordinatensysteme Kanonisches ONB

Das kartesische Koordinatensystem kennst Du aus der Schule. Wir wollen den Zusammenhang zum Skalarprodukt und den Koordinaten herstellen.

Um die Rechnungen zu vereinfachen, hätte man gern die Operationen bei den Vektoren auf die gewöhnliche Arithmetik abgebildet. Die Vektoren projiziert man auf ein gemeinsames Bezugssystem, aus denen man alle Vektoren zusammensetzen kann. Die Vektoren werden dabei auf die Richtung der Basisvektoren projiziert. Die Basisvektoren sind normierte Einheitvektoren mit der Länge 1 .Das Bezugssystem nennt man Koordinatensystem. In der Physik sind die kartesischen, die Zylinder- und die Kugelkoordinaten am wichtigsten. Die Vektoren werden duch Tupel von Skalaren dargestellt.

Die Zylinderkoordinaten und die Kugelkoordinaten sind in der Physik häufig gebraucht und man sollte sie auswendig kennen.

(i.te Koordinate, j.te Koordinate, k.te Koordinate)

Jede Position im Tupel steht für das Ergebnis aus der Skalarmultiplikation aus dem Vektor und einem Einheitsvektor der Basis. Bei den kartesischen Koordinaten also kartesische Einheitsvektoren, bei den Zylinderkoordinaten entsprechende. Die Koordinate entsteht als Projektion auf einen Einheitsvektor und wird in der entsprechenden Position im Tupel eingetragen.

Die Projektion besorgt das Skalarprodukt:

V$\cdot$$e_{i}$ = Koordinate i

Der Vektor V läßt sich als Summe der Projektionen auf die Einheitsvektoren schreiben.

${\mathbf {V} }=\left({V_{1},\,V_{2},\,V_{3}}\right)={\mathbf {V} }_{1}+{\mathbf {V} }_{2}+{\mathbf {V} }_{3}=V_{1}{\mathbf {e} }_{1}+V_{2}{\mathbf {e} }_{2}+V_{3}{\mathbf {e} }_{3}.$

Die Schreibweise als Tupel ist dabei als Kurzschreibweise zu verstehen, die Reihenfolge ist wesentlich und entspricht der Reihenfolge in der Summe. Im Grunde müßte man immer das Basissystem bei dem Tupel kennzeichnen. Meist ist das aber aus dem Kontext erkennbar.

Orthonormalität und Vollständigkeit des Basissystems ONB

Dass man einen Vektor so schreiben kann oder nach einer Basis entwickeln kann ist ein immer wieder auftauchendes Verfahren. Wir wenden das immer an, um bequem rechnen zu können. Am komfortabelsten ist natürlich die Rechnung in einer Basis zu machen, die möglichst einfache Koordinaten liefert. Unter den einfachen Basissystemen ist am prominentesten die orthonormalen Basissystemen, hier stehen die Basisvektoren senkrecht aufeinander, was man mit dem Skalarprodukt feststellen kann, denn das Skalarprodukt orthogonaler Basisvektoren verschwindet.

Die wichtigsten Zusammenhänge sind die Vollständigkeit- , die Orthonormalitäts-Relationen und ein Entwicklungssatz.

Orthonormalität

Das Skalarprodukt der Basisvektoren ergibt paarweise Null.

${\mathbf {e} }_{1}\cdot {\mathbf {e} }_{2}={\mathbf {e} }_{2}\cdot {\mathbf {e} }_{3}={\mathbf {e} }_{3}\cdot {\mathbf {e} }_{1}=0.$

Nach der Charakterisierung des Skalarproduktes mit dem cos-Faktor stehen die Einheitsvektoren also senkrecht aufeinander. Wenn wir die Einheitsvektoren verlängern dann begrenzen sie einen rechtwinkliges Raster.

Normierung

Normierte Basisvektoren heißen Einheitsvektoren, weil die Norm 1 ist.

${\mathbf {e} }_{1}\cdot {\mathbf {e} }_{1}={\mathbf {e} }_{2}\cdot {\mathbf {e} }_{2}={\mathbf {e} }_{3}\cdot {\mathbf {e} }_{3}=1$

Vollständigkeit

Die Basisvektoren reichen aus, um den gesamten Vektorraum aufzuspannen. Die Vollständigkeitsrelation erklären wir mit dem Kroneckerdelta

$\delta$ ist das sogenannte Kronecker-Symbol. Es verschwindet, wenn die Indizes i $\not =$ j , und es ist 1 bei i = j.

$\delta ={\begin{cases}1,&{\text{wenn }}i=j\\0,&{\text{wenn }}i\not =j\end{cases}}$

Der Zusammenhang mit unserem Thema steckt in der Gleichung:

${\mathbf {e} }_{i}\cdot {\mathbf {e} }_{k}=\delta _{ik}.$

Entwicklungssatz

Jeder Vektor kann in der orthonormierten Basis dargestellt werden. Orthonormiert ist ein Kunstwort aus normiert und orthogonal.

${\mathbf {V} }=\left({V_{1},\,V_{2},\,V_{3}}\right)={\mathbf {V} }_{1}+{\mathbf {V} }_{2}+{\mathbf {V} }_{3}=V_{1}{\mathbf {e} }_{1}+V_{2}{\mathbf {e} }_{2}+V_{3}{\mathbf {e} }_{3}.$

Die Darstellung eines Vektors in einem ONB ist eindeutig. ONS steht Orthonormiertes Basis-System.

Die Komponenten/Koordinaten eines Vektors a bezeichnen wir mit einem angehängten Index $a_{1}$, $a_{2}$ oder $a_{3}$. Dabei bedeuten sie das Skalarprodukt aus dem Vektor a mit dem Basisvektor $e_{i}$, i= 1,2,3.

$a_{i}$ = $a\cdot e_{i}$

Die Darstellung des Vektors a in der Basis wird dann zu einer Summe.

a =$\sum _{i=1}^{3}a\cdot e_{i}$ = $a\cdot e_{1}+a\cdot e_{2}+a\cdot e_{3}$

Rechnen mit Vektoren in Komponentendarstellung

Wir zeigen, wie man mit den Vektor-Operationen in der Komponentendarstellung rechnet. Wir tun das für das kartesische (kanonische) Basissystem.

Summe und Differenz zweier Vektoren

Man addiert zwei Vektoren, indem man bei gleicher Basis ihre skalaren Komponenten addiert.

$e_{i}\cdot (a+b)=a_{i}+b_{i}=c_{i}$ für i = 1,2,3

$c=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3})$

Addition und Subtraktion

Die Summe der beiden Vektoren

${\vec {a}}=a_{1}{\vec {i}}+a_{2}{\vec {j}}+a_{3}{\vec {k}}\ \mathrm {und} \ {\vec {b}}=b_{1}{\vec {i}}+b_{2}{\vec {j}}+b_{3}{\vec {k}}$

berechnet sich als:

${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1}){\vec {i}}+(a_{2}+b_{2}){\vec {j}}+(a_{3}+b_{3}){\vec {k}}={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\\a_{3}+b_{3}\end{pmatrix}}$.

Skalarprodukt zweier Vektoren

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist die Summe der Komponentenprodukte

$(a\cdot b)$

= $\sum _{i=1}^{3}(a_{i}e_{i})$ $\sum _{j=1}^{3}(b_{j}e_{j})$

= $\sum _{i,j=1}^{3}(a_{i}b_{j})(e_{i}e_{j})$

= $\sum _{i=1}^{3}(a_{i}b_{j})\delta _{i}j$

$(a\cdot b)$ = $\sum _{i=1}^{3}(a_{i}b_{i})$

$\delta$ ist das sogenannte Kronecker-Symbol. Es verschwindet, wenn die Indizes i :$\not =$ j , und es ist 1 bei i = j.

$\delta ={\begin{cases}1,&{\text{wenn }}i=j\\0,&{\text{wenn }}i\not =j\end{cases}}$

Im Kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt als inneres Produkt

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

insbesondere gilt für das Quadrat eines Vektors

${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$

Die Wurzel daraus ist die Norm des Vektors $\|a\|$.

   

Vektor-Algebra

   

Übung: Skalarprodukt

Vektorprodukt zweier Vektoren

Rechtssystem

Diese Formeln charakterisieren ein Rechtssystem.

${\begin{matrix}{\mathbf {e} }_{1}\times {\mathbf {e} }_{2}={\mathbf {e} }_{3},\quad \,\,\,{\mathbf {e} }_{2}\times {\mathbf {e} }_{3}={\mathbf {e} }_{1},\quad \,\,\,{\mathbf {e} }_{3}\times {\mathbf {e} }_{1}={\mathbf {e} }_{2},\\{\mathbf {e} }_{2}\times {\mathbf {e} }_{1}=-{\mathbf {e} }_{3},\quad {\mathbf {e} }_{3}\times {\mathbf {e} }_{2}=-{\mathbf {e} }_{1},\quad {\mathbf {e} }_{1}\times {\mathbf {e} }_{3}=-{\mathbf {e} }_{2},\\{\mathbf {e} }_{1}\times {\mathbf {e} }_{1}={\mathbf {e} }_{2}\times {\mathbf {e} }_{2}={\mathbf {e} }_{3}\times {\mathbf {e} }_{3}={\mathbf {0} }.\end{matrix}}$

Diese Formeln für die Basisvektoren in der ONB haben die angenehme Eigenschaft, dass man das Kreuzprodukt recht einfach auf eine komponentenweise Berechnung der Koordinaten zurückführen kann.

Das Prinzip ist wie beim Skalarprodukt.

Vergleich:

a =$\sum _{i=1}^{3}a\cdot e_{i}$ = $a\cdot e_{1}+a\cdot e_{2}+a\cdot e_{3}$

Hier hatten wir die Projektionen auf die Richtung der $e_{i}$ aufsummiert. Nun müssen wir für das Kreuzprodukt $a\times b$ den entstehenden Vektor auf die Richtungen von $e_{i}\times e_{j}$ projizieren und dann die Projektionen aufsummieren. Es sind die Richtungen zu berechnen auf das wir den Produktvektor $a\times b$ projizieren wollen.

Die Kreuzprodukte der Faktoren sind einfach und bilden auf die Koordinaten des Produktvektors ab, wie man an der rechten Seite erkennt.

$e_{1}\times e_{2}=e_{3}$ ,

$e_{2}\times e_{3}=e_{1}$ ,

$e_{3}\times e_{1}=e_{2}$

Es ist nur noch die Projektion zu leisten, dass wir zur Vorbereitung mit einem Basisvektor vornehmen.

$e_{i}\cdot (e_{j}\times e_{k})$ =: $\varepsilon _{ijk}$

Dieses Produkt ist das bekannte Spatprodukt aus den Basisvektoren und ist eine Prominente. Epsilon-Tensor - total antisymmetrischer Tensor. Ein Hinweis darauf, dass die Basis ein Rechtssystem ist.

$\varepsilon _{ijk\dots }={\begin{cases}+1&{\mbox{falls }}(i,j,k,\dots ){\mbox{ eine gerade Permutation von }}(1,2,3,\dots ){\mbox{ ist,}}\\-1&{\mbox{falls }}(i,j,k,\dots ){\mbox{ eine ungerade Permutation von }}(1,2,3,\dots ){\mbox{ ist,}}\\0&{\mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}}\end{cases}}$

Kreuzprodukt

Damit fassen wir die Kreuzprodukte der Basis-Vektoren übersichtlich zusammen

$(e_{i}\times e_{j})$ = $\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}e_{k}$

Mit dem Kreuzprodukt der Basis-Vektoren können wir nun auch komponentenweise das Kreuzprodukt anschreiben.

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}{\vec {e_{i}}}=\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}{\vec {e_{k}}}$

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})_{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\;.$

Das ist im Grunde eine Kurzdarstellung der drei Komponenten-Gleichungen

$c_{1}$ = $a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}$

$c_{2}$ = $a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}$

$c_{3}$ = $a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$

Das soll der Leser selber mit den obigen Formeln nachrechnen, um den Umgang mit dem $\varepsilon _{ijk}$ zu lernen. Später werden wir diese Fertigkeit bei Beweisen gut gebrauchen können.

Epsilon-Tensor

Das Spatprodukt

Das Spatprodukt kann man einfach formulieren mit den früheren Formeln für das Kreuzprodukt

$a\cdot (b\times c)$

=$\sum _{i,j,k}\color {blue}a_{i}b_{j}c_{k}\color {red}e_{i}\cdot (e_{j}\times e_{k})$

=$\sum _{i,j,k}\color {red}\varepsilon _{i,j,k}\color {blue}a_{i}b_{j}c_{k}$

Eine wichtige Eigenschaft des Spatproduktes ist, dass man $\times$ und $\cdot$ vertauschen kann.

Nachrechnen am Epsilon-Tensor !

Das Spatprodukt ist positiv, wenn die Permutation gerade ist und negativ falls ungerade.

Die Reihenfolge der Indizes ist {1,2,3}. Die Reihenfolge kann auch vertauscht sein {2,1,3}, hier ist genau eine Vertauschung der Indizes mit seinem Nachbarn geschehen. Die Permutation ist deswegen ungerade. Wenn ich bei {2,1,3} 1 -> 3 vertausche, entsteht die gerade Permutation {2,3,1}.

Zyklische Vertauschung bedeutet, im Uhrzeigersinn zu vertauschen. Antizyklische Vertauschung gegen den Uhrzeigersinn. Dabei schreib man zuerst den Index 1 an im Uhrzeigersinn den Index 2 und dann den Index

Im Gegensatz zur zyklischen Vertauschung tritt bei der antizyklischen Vertauschung ein Vorzeichenwechsel auf:

$\left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)=-\left({\vec {b}},{\vec {a}},{\vec {c}}\right)$

Zwei gleiche Vektoren lassen ${\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}$ verschwinden:

$\left({\vec {a}},{\vec {a}},{\vec {b}}\right)=0$

Sonst gelten die vertrauten Eigenschaften von Produkten.

Skalare Multiplikation $\alpha \in \mathbb {R}$ ist assoziativ:

$\left(\alpha \cdot {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)=\alpha \cdot \left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)$

Distributiv:

$\left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}+{\vec {d}}\right)=\left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)+\left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {d}}\right)$

Spatprodukt

Vektorprodukt dreier Vektoren (»Entwicklungssatz«)

Wir brauchen die k-te Komponente des doppelten Vektorproduktes a x (b x c). Für uns sind das zwei Vektorprodukte

${\color {Blue}a}\times {\color {Red}(b\times c)}$

Jedes läßt sich mit dem $\epsilon _{ijk}$ Tensor in eine Komponenten-Gleichung schreiben

$[a\times (b\times c)]_{k}$

= $\sum _{i,j}a_{i}(b\times c)_{j}$

= $\sum _{i,j}\sum _{l,m}\epsilon _{ijk}\varepsilon _{lmj}a_{i}b_{l}c_{m}$

= $-\sum _{i,j}\sum _{l,m}\epsilon _{ijk}\varepsilon _{jlm}a_{i}b_{l}c_{m}$

Mit der Formel

$\varepsilon _{jki}\varepsilon _{jlm}=\delta _{kl}\delta _{im}-\delta _{km}\delta _{il}$

Die Herkunft dieser Formel erleben wir in den Übungen. Setze Sie an dieser Stelle einfach ein ohne sich Gedanken zu machen.

$[a\times (b\times c)]_{k}$

$=\sum _{i,l,m}a_{i}b_{l}c_{m}(\delta _{i,m}\delta _{k,l}-\delta _{i,l}\delta _{k,m})$ $=\sum _{i}(a_{i}b_{k}c_{i}-a_{i}b_{i}c_{k})$ $=b_{k}(a\cdot c)-c_{k}(a\cdot b)$ $=[b(ac)-c(ab)]_{k}$

Die Merkregel dafür ist einprägsam und hat einen Namen Bac-cab-Regel

Jacobi-Identität

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})+{\vec {b}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {a}})+{\vec {c}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {0}}$

Lagrange-Identität

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {d}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})({\vec {b}}\cdot {\vec {d}})-({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})({\vec {a}}\cdot {\vec {d}})$

Allgemein Koordinaten

Koordinatenlinien

Alle Kordinatensysteme haben etwas gemeinsam. Sie "überziehen" die Zeichenebene mit einem Muster aus Linien, den Koordinatenlinien. Eine Koordinatenlinie fixen Koordinate und eine veränderliche Koordinate. Die Koordinatenlinien bilden Muster "Koordinaten-Raster". Es erinnert an Längen- und Breitengrade.

Im Fall kartesischer und schiefwinkeliger Koordinaten sind alle Koordinatenlinien gerade. Der Koordinaten-Raster besteht aus zwei Scharen von zueinander parallelen Geraden. Diese Koordinaten werden daher geradlinig genannt.

Polarkoordinaten sind ein Beispiel für krummlinige Koordinaten. Ihre Koordinatenlinien sind

einerseits alle Strahlen ( = Halbgeraden) durch den Ursprung (jene Linien, entlang derer sich der Wert der Koordinate $\phi$ nicht ändert),

andererseits alle Kreise um den Ursprung (jene Linien, entlang derer sich der Wert der Koordinate r nicht ändert).

Für diese Koordinaten macht der Begriff der Achsen überhaupt keinen Sinn!

Probleme können eine typische Symmetrie haben und in einem angepassten Koordinatensystem einfacher berechnet werden.

Die Koordinaten eines Punktes in Bezug auf ein Koordinatensystem können in jene bezüglich eines anderen Koordinatensystems umgerechnet werden. Man spricht dann von einer Koordinatentransformation.

Zylinder-Koordinaten

Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem so ausrichtet, dass die z-Achsen zusammenfallen und die x-Achse in Richtung $\varphi =0$ zeigt, dann ergeben sich die folgenden Umrechnungsformeln:

$x=\rho \,\cos \varphi$

$y=\rho \,\sin \varphi$

$z=z\quad$

Für die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten ergeben sich für $\rho \,$ und $\varphi$ die gleichen Formeln wie bei den Polarkoordinaten.

Polarkoordinaten

Für die Umrechnung von ebenen Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten gilt demnach:

$x=r\cdot \cos \varphi$

$y=r\cdot \sin \varphi$

${\vec {r}}=r\,\cos \varphi \,{\vec {e}}_{x}+r\,\sin \varphi \,{\vec {e}}_{y}$

Winkels im Intervall (−π, π]

Mit Hilfe des Arkuskosinus kommt man mit nur zwei Fallunterscheidungen aus:

$\varphi ={\begin{cases}+\arccos {\frac {x}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ y\geq 0\\-\arccos {\frac {x}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ y<0\end{cases}}$

Winkels im Intervall [0, 2π)

Die Formel mit dem Arkuskosinus kommt auch in diesem Fall mit nur zwei Fallunterscheidungen aus:

$\varphi '={\begin{cases}\arccos {\frac {x}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ y\geq 0\\2\pi -\arccos {\frac {x}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ y<0\end{cases}}$

\end{cases}</math>

   

Vektor-Algebra

   

Lösungen

Kugelkoordinaten

Die Transformationsgleichungen von kartesischen in Kugelkoordinaten lauten

${r}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$;

${\varphi }={\begin{cases}\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ y\geq 0,\\[,5em]2\pi -\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ y<0;\end{cases}}$

${\theta }=\operatorname {arccot} {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\ =\ {\frac {\pi }{2}}-\arctan {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$.

Die Rücktransformation erfolgt nach den Gleichungen

$x=r\sin \theta \cos \varphi$

$y=r\sin \theta \sin \varphi$

$z=r\cos \theta \quad$.

   

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