Kurs:Vektor-Algebra/Multiplikation/Skalarprodukt

Arbeitsbegriff

Für eine ortsunabhängige Kraft ${\vec {F}}$, die entlang eines geraden Weges ${\vec {s}}$ wirkt, ist die Arbeit definiert als das Skalarprodukt

$W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}=F\cdot s\cdot \cos \alpha \,,$

wobei $\alpha \,$ der Winkel zwischen der Richtung der Kraft und der Richtung des Weges ist und F und s die Beträge der entsprechenden Vektoren sind.

Wenn die wirkende Kraft in Richtung des zurückgelegten Weges angreift und konstant ist, dann vereinfacht sich dieser Ausdruck zu

$W=F\cdot s\,.$

Projektion

Eine Projektion eines Vektors x auf die Richtung eines anderen Vektors n. Diese Projektion meint das man die Anfangspunkte von a und n aneinanderheften soll. Das Lot von a auf n ergibt einen Schnittpunkt.

Die Projektion von a auf n ist ein Vektor mit den gemeinsamen Anfangspunkt von a,n und den Schnittpunkt als Endpunkt. Die Projektion gibt sozusagen den Anteil von n am Vektor a wieder.

Übung: Zerlege die Kraft ${\vec {F}}$ in einen parallelen Anteil zur Wirkungslinie also kolinear zu ${\vec {s}}$.

Der Ausdruck sollte sein

${\vec {F}}_{\|}={\frac {1}{F^{2}}}({\vec {F}}\cdot {\vec {s}}){\vec {F}}$

Kosinussatz

Kosinussatz

${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}$

$c^{2}=({\vec {a}}-{\vec {b}})^{2}=a^{2}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+b^{2}$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot cos\alpha$

Projektion, Norm

Satz von Schwarz

Cauchy-Schwarzscher Satz

$\|{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\|\leq a\cdot b$

$0\leqq ({\vec {a}}+\alpha {\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}+\alpha {\vec {b}})$

$a^{2}+\alpha ^{2}b^{2}+\alpha {\vec {b}}\cdot {\vec {a}}+\alpha {\vec {a}}\cdot b$

$a^{2}+\alpha ^{2}b^{2}+2\alpha {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$

$\alpha \in \mathbb {R}$

$\alpha =-{\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{b^{2}}}\in \mathbb {R}$

$0\leq a^{2}b^{2}-({\vec {a}}\cdot b)^{2}$

Satz von Thales

Übung: Zeige den Satz von Thales. Hinweis: Identifiziere dabei die Terme in $({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {a}})$ mit den geometrischen Größen im Satz.

Dreickes-Ungleichung

Dreieckes-Ungleichung

$\|a-b\|\leq \|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|\leq a+b$

$a^{2}+b^{2}-2ab\leq a^{2}+b^{2}+2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\leq a^{2}+b^{2}+2ab$

$(a-b)^{2}\leq ({\vec {a}}+{\vec {b}})^{2}\leq (a+b)^{2}$ normieren

$\|-ab\leq {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\|\leq a\cdot b$

$\|a-b\|\leq \|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|\leq a+b$