Für eine ortsunabhängige Kraft
F
→
{\displaystyle {\vec {F}}}
s
→
{\displaystyle {\vec {s}}}
Skalarprodukt
W
=
F
→
⋅
s
→
=
F
⋅
s
⋅
cos
α
,
{\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}=F\cdot s\cdot \cos \alpha \,,}
wobei
α
{\displaystyle \alpha \,}
F und s die Beträge der entsprechenden Vektoren sind.
Wenn die wirkende Kraft in Richtung des zurückgelegten Weges angreift und konstant ist, dann vereinfacht sich dieser Ausdruck zu
W
=
F
⋅
s
.
{\displaystyle W=F\cdot s\,.}
Eine Projektion eines Vektors x auf die Richtung eines anderen Vektors n. Diese Projektion meint das man die Anfangspunkte von a und n aneinanderheften soll. Das Lot von a auf n ergibt einen Schnittpunkt.
Die Projektion von a auf n ist ein Vektor mit den gemeinsamen Anfangspunkt von a,n und den Schnittpunkt als Endpunkt. Die Projektion gibt sozusagen den Anteil von n am Vektor a wieder.
Übung: Zerlege die Kraft
F
→
{\displaystyle {\vec {F}}}
s
→
{\displaystyle {\vec {s}}}
Der Ausdruck sollte sein
F
→
‖
=
1
F
2
(
F
→
⋅
s
→
)
F
→
{\displaystyle {\vec {F}}_{\|}={\frac {1}{F^{2}}}({\vec {F}}\cdot {\vec {s}}){\vec {F}}}
Kosinussatz
c
→
=
a
→
−
b
→
{\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}}
c
2
=
(
a
→
−
b
→
)
2
=
a
2
−
2
a
→
⋅
b
→
+
b
2
{\displaystyle c^{2}=({\vec {a}}-{\vec {b}})^{2}=a^{2}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+b^{2}}
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
⋅
c
o
s
α
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot cos\alpha }
Projektion, Norm
Cauchy-Schwarzscher Satz
‖
a
→
⋅
b
→
‖
≤
a
⋅
b
{\displaystyle \|{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\|\leq a\cdot b}
0
≦
(
a
→
+
α
b
→
)
⋅
(
a
→
+
α
b
→
)
{\displaystyle 0\leqq ({\vec {a}}+\alpha {\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}+\alpha {\vec {b}})}
a
2
+
α
2
b
2
+
α
b
→
⋅
a
→
+
α
a
→
⋅
b
{\displaystyle a^{2}+\alpha ^{2}b^{2}+\alpha {\vec {b}}\cdot {\vec {a}}+\alpha {\vec {a}}\cdot b}
a
2
+
α
2
b
2
+
2
α
a
→
⋅
b
→
{\displaystyle a^{2}+\alpha ^{2}b^{2}+2\alpha {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
α
=
−
a
→
⋅
b
→
b
2
∈
R
{\displaystyle \alpha =-{\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{b^{2}}}\in \mathbb {R} }
0
≤
a
2
b
2
−
(
a
→
⋅
b
)
2
{\displaystyle 0\leq a^{2}b^{2}-({\vec {a}}\cdot b)^{2}}
Übung: Zeige den Satz von Thales. Hinweis: Identifiziere dabei die Terme in
(
a
→
+
b
→
)
⋅
(
b
→
−
a
→
)
{\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {a}})}
Dreieckes-Ungleichung
‖
a
−
b
‖
≤
‖
a
→
+
b
→
‖
≤
a
+
b
{\displaystyle \|a-b\|\leq \|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|\leq a+b}
a
2
+
b
2
−
2
a
b
≤
a
2
+
b
2
+
2
a
→
⋅
b
→
≤
a
2
+
b
2
+
2
a
b
{\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\leq a^{2}+b^{2}+2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\leq a^{2}+b^{2}+2ab}
(
a
−
b
)
2
≤
(
a
→
+
b
→
)
2
≤
(
a
+
b
)
2
{\displaystyle (a-b)^{2}\leq ({\vec {a}}+{\vec {b}})^{2}\leq (a+b)^{2}}
‖
−
a
b
≤
a
→
⋅
b
→
‖
≤
a
⋅
b
{\displaystyle \|-ab\leq {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\|\leq a\cdot b}
‖
a
−
b
‖
≤
‖
a
→
+
b
→
‖
≤
a
+
b
{\displaystyle \|a-b\|\leq \|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|\leq a+b}
