Kurs:Vektor-Algebra/Multiplikation

Multiplikative Verknüpfungen

Skalarmultiplikation Skalarprodukt Vektorprodukt Mehrfache Produkte Normierter Vektorraum Komponentenschreibweise

Die Menge der Vektoren lassen sich neben der Addition auch multiplikativ verknüpfen. Dafür kommen mehrere Objekte ins Spiel Skalare, Vektoren und Matrizen. Die Ergebnisse solcher Verknüpfungen sind dann wieder Skalare, Vektoren oder Matrizen. Oft lassen sich diese Verknüpungen geometrisch interpretieren.

Erklärung

Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema, in dem man Skalare anordnet.

${\begin{pmatrix}x&y\\z&v\end{pmatrix}}$

Die Matrizen mit Einsen in der Hauptdiagonalen und Nullen auf den restlichen Plätzen heißen Einheitsmatrizen. Die (2x2) Matrix

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

ist die Einheitsmatrix (neutrales Element) der (2x2)-Matrizen.

Skalarmultiplikation

Die Skalarmultiplikation verknüpft den Vektorraum mit dem reellen Körper. Es zeigt, wie man Skalare mit Vektoren multipliziert. Einige Objekte aus der GRuppe tauchen nicht auf. Welche sind es ?

Skalarmultiplikation

Skalarprodukt

Das skalare Produkt zweier Vektoren soll ein Skalar erzeugen. Das Skalarprodukt mißt die Ähnlichkeit zweier Vektoren

Charakterisierung:

${\mathbf {V} }\cdot {\mathbf {W} }\,=V\cdot W\cdot \cos({\mathbf {V} },{\mathbf {W} }).$

Der Cosinus-Faktor bringt einen Winkel im Bogenmaß hinein. Je kolinearer die Vektoren sind desto näher ist der Cosinus an 1 dran, so ist das Ähnlichkeitsmaß zu verstehen.

Ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt heißt unitärer Raum.

Entsprechend würde ein Sinus-Faktor ausdrücken wie "verschieden" die Vektoren von der kolinearen Lage wären. Das nutzen wir bei dem vektorwertigen oder Vektorprodukt aus.

$\|{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\|\leq a\cdot b$

Übung: Beweise die Ungleichung, indem Du die Charakterisierung des Skalarproduktes mit dem Cos-Faktor ausnutzt !

Anwendung

Für eine ortsunabhängige Kraft ${\vec {F}}$, die entlang eines geraden Weges ${\vec {s}}$ wirkt, ist die Arbeit definiert als das Skalarprodukt

$W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}=F\cdot s\cdot \cos \alpha \,,$

wobei $\alpha \,$ der Winkel zwischen der Richtung der Kraft und der Richtung des Weges ist und F und s die Beträge der entsprechenden Vektoren sind.

Wenn die wirkende Kraft in Richtung des zurückgelegten Weges angreift und konstant ist, dann vereinfacht sich dieser Ausdruck zu

$W=F\cdot s\,.$

Übung: Zerlege die Kraft ${\vec {F}}$ in einen parallelen Anteil zur Wirkungslinie also kolinear zu ${\vec {s}}$.

Der Ausdruck sollte sein

${\vec {F}}_{\|}={\frac {1}{F^{2}}}({\vec {F}}\cdot {\vec {s}}){\vec {F}}$

Kosinussatz

${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}$

$c^{2}=({\vec {a}}-{\vec {b}})^{2}=a^{2}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+b^{2}$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot cos\alpha$

Anwendungen des Skalarproduktes

Norm

Das Skalarprodukt erzeugt eine Norm ||V|| charakterisiert als

||V|| = ${\sqrt {V*V}}$

Mit der Norm können wir Vektoren normieren, indem wir den Vektor V durch seine Norm ||V|| teilen. Einheitsvektoren sind immer normiert.

Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter Raum.

Mit der Norm können wir Vektoren normieren, indem wir den Vektor V durch seine Norm ||V|| teilen. Einheitsvektoren sind immer normiert.

Die Norm hat immer 3 Eigenschaften

1. $\|x\|=0\;\Leftrightarrow \;x=0$ (Definitheit);
2. $\|\alpha \cdot x\|=|\alpha |\cdot \|x\|$ (Homogenität);
3. $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ (die w: Dreiecksungleichung).

Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter Vektorraum oder normierter Raum.

Mehr in der Wikipedia zum Normierten Raum Skalarmultiplikation Skalarprodukt Vektorprodukt Mehrfache Produkte Normierter Vektorraum Komponentenschreibweise

Vektorprodukt

Schon gewusst? Wie ist der Cosinus und der Sinus im Einheitskreis durch Projektionen auf die Koordinatenachsen erklärt ? Kann man einen Zusammenhang erkennen wie man die Höhenlinie beim Spat bekommt ? Kannst Du auch den Zusammenhang erkennen zwischen inneres und äußeres Produkt ?

Es heißt auch äußeres Produkt, Kreuzprodukt oder Vektorprodukt. Die Charakterisierung unterscheidet sich von dem Skalarprodukt durch die Verwendung eines Sinusfaktors. Übrigens nennt man das Skalarprodukt auch inneres Produkt.

$W=\left|{{\mathbf {U} }\times {\mathbf {V} }}\right|=||U||\cdot ||V||\cdot \sin \varphi \,=U\cdot V\cdot \sin \left({{\mathbf {U} },{\mathbf {V} }}\right).$

Sinussatz

Anwendung: das Drehmoment ${\vec {M}}$

${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$

Übung: Projiziere die Kraft ${\vec {F}}$ in ihren senkrechten Anteil zu dem Weg s.

Lösung sollte

${\vec {F}}_{\|}={\frac {1}{F^{2}}}{\vec {F}}\times ({\vec {s}}\times {\vec {F}}){\vec {F}}$

Kreuzprodukt

Skalarmultiplikation Skalarprodukt Vektorprodukt Mehrfache Produkte Normierter Vektorraum Komponentenschreibweise

Mehrfache Produkte von Vektoren

Einige Beispiele für mehrfache Produkte von Vektoren a,b,c sind

• mehrfaches Skalarprodukt

(a$\cdot$b)$*$$\cdot$c

• mehrfaches Vektorprodukt

(a$\times$$\times$b)$\times$c (Entwicklungsatz)

• gemischte Produkte

(a$\times$b)$\cdot$c (Spatprodukt)

(T $\times$ U) $\cdot$ (V $\times$ W)

$(V\times U)^{2}$

(T$\times$U)$\times$(V$\times$W)

Die letzten Produkte lassen sich auf doppeltes Vektorprodukt oder Spatprodukt reduzieren. Produkte bilden eine multiplikative Gruppe.

Damit sollte man die gemischten Produkte umformulieren können, so dass nur mehrfache Skalarprodukte, Spatprodukte und doppelte Vektorprodukte stehen bleiben. Für diese elementaren mehrfachen Produkte brauchen wir die Komponenten zur Berechnung.

Skalarmultiplikation Skalarprodukt Vektorprodukt Mehrfache Produkte Normierter Vektorraum Komponentenschreibweise

Normierter Vektorraum

Normierter Raum

Normierter Raum

Orthonormierungsverfahren

Orthonormierungsverfahren

• Beispiel:

Im $\mathbb {R} ^{2}$ versehen mit dem Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ seien zwei Basisvektoren gegeben:

$e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

Es werden nun zwei Vektoren $u_{1}$ und $u_{2}$ berechnet, die eine Orthonormalbasis des $\mathbb {R} ^{2}$ bilden.

Trage die Rechnung aus nach dem Algorithmus

Algorithmus des Orthonormalisierungsverfahrens

Der folgende Algorithmus berechnet zu den linear unabhängigen Vektoren $v_{1},\dots ,v_{n}$ ein Orthonormalsystem von $n$ normierten, paarweise orthogonalen Vektoren, das denselben Untervektorraum erzeugt.

Die einzelnen Vektoren $u_{1},\dots ,u_{n}$ des Orthonormalsystems erhält man, indem zuerst jeweils ein orthogonaler Vektor berechnet und anschließend normalisiert wird:

$u_{1}={\frac {v_{1}}{\left\|v_{1}\right\|}}$ (Normalisieren des ersten Vektors $v_{1}$)

$u_{2}^{\prime }=v_{2}-\langle v_{2},u_{1}\rangle \cdot u_{1}$ (Orthogonalisieren des zweiten Vektors $v_{2}$)

$u_{2}={\frac {u_{2}^{\prime }}{\left\|u_{2}^{\prime }\right\|}}$ (Normalisieren des Vektors $u_{2}^{\prime }$)

Im Allgemeinen erhält man durch dieses Verfahren kein besonders ausgezeichnetes System. Im $\mathbb {R} ^{3}$ muss z.B. erst ein Umordnungsschritt nachgeschaltet werden, um ein Rechts- oder Linkssystem zu erhalten.

Beispiel

Im $\mathbb {R} ^{2}$ versehen mit dem Skalaraprodukt seien zwei Basisvektoren gegeben:

$v_{1}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},\quad v_{2}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$

Es werden nun zwei Vektoren $u_{1}$ und $u_{2}$ berechnet, die eine Orthonormalbasis des $\mathbb {R} ^{2}$ bilden.

$u_{1}={\frac {v_{1}}{\left\|v_{1}\right\|}}={\frac {1}{\sqrt {10}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$

$u_{2}^{\prime }=v_{2}-\langle v_{2},u_{1}\rangle \cdot u_{1}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}-{\frac {1}{\sqrt {10}}}\cdot \left\langle {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\right\rangle \cdot {\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}-2\\6\end{pmatrix}}$

$u_{2}={\frac {u_{2}^{\prime }}{\left\|u_{2}^{\prime }\right\|}}={\frac {1}{\sqrt {40/25}}}\cdot {\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}-2\\6\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {10}}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}$

Mehrfache Produkte berechnen