Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 1/latex
\setcounter{section}{1}
\inputaufgabe
{}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabellezweieins{ } {\tabellenzeiledrei {$ p $} {$ q $} {$? $} } {\tabellenzeiledrei {w} {w} {w} } {\tabellenzeiledrei {w} {f} {f} } {\tabellenzeiledrei {f} {w} {w} } {\tabellenzeiledrei {f} {f} {w} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabellezweieins{ } {\tabellenzeiledrei {$ p $} {$ q $} {$? $} } {\tabellenzeiledrei {w} {w} {w} } {\tabellenzeiledrei {w} {f} {f} } {\tabellenzeiledrei {f} {w} {f} } {\tabellenzeiledrei {f} {f} {w} }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabellezweieins{ } {\tabellenzeiledrei {$ p $} {$ q $} {$? $} } {\tabellenzeiledrei {w} {w} {f} } {\tabellenzeiledrei {w} {f} {f} } {\tabellenzeiledrei {f} {w} {f} } {\tabellenzeiledrei {f} {f} {f} }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise mittels Wahrheitstabellen, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind. \aufzaehlungfuenf{ $(\alpha \wedge \alpha) \leftrightarrow \alpha$. }{ $\alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha$. }{ $\alpha \rightarrow ( \beta \rightarrow \alpha)$. }{ $(\alpha \rightarrow ( \beta \rightarrow \gamma)) \rightarrow ((\alpha \rightarrow \beta) \rightarrow ( \alpha \rightarrow \gamma))$. }{ $(\alpha \rightarrow \beta) \leftrightarrow (\neg \alpha \vee \beta)$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man beweise mittels Wahrheitstabellen die \stichwort {Regeln von de Morgan} {,} nämlich dass
\mathdisp {\neg (\beta \vee \gamma) \leftrightarrow (\neg \beta \wedge \neg \gamma)} { }
und
\mathdisp {\neg (\beta \wedge \gamma) \leftrightarrow ( \neg \beta \vee \neg \gamma)} { }
\definitionsverweis {Tautologien}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man bringe die in der Vorlesung besprochenen Aussageformen in zwei \definitionsverweis {Aussagenvariablen}{}{} in \definitionsverweis {disjunktive Normalform}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man bringe die Aussage
\mathdisp {((p\vee (r\rightarrow q)) \wedge (q\rightarrow p) ) \vee (((p \wedge \neg q) \wedge (\neg r \vee \neg p) ) \wedge ( r \rightarrow ( p \vee \neg q)))} { }
in
\definitionsverweis {disjunktive Normalform}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe möglichst viele Beispiele für aussagenlogische Kontradiktionen an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einer aussagenlogischen \definitionsverweis {Tautologie}{}{} \zusatzklammer {und ebenso in einer aussagenlogischen \definitionsverweis {Kontradiktion}{}{}} {} {} mindestens eine \definitionsverweis {Aussagenvariable}{}{} mehrfach vorkommen muss.
}
{} {Tipp: Ein Beweis für diese Aussage erfordert, dass man eine \stichwort {Induktion über den Aufbau der logischen Sprache} {} durchführt, d.h., man überlegt sich, wie die Aussagen der Sprache aus kleineren Teilaussagen zusammensetzt werden können, und beweist die Aussage für zunehmend komplexere Aussagen.}
\inputaufgabe
{}
{
Man formalisiere die folgenden Aussagen, indem man geeignete Prädikate erklärt. Man gebe die Negation der Aussagen \zusatzklammer {umgangssprachlich und formal} {} {} an. \aufzaehlungneun{Alle Vögel sind schon da. }{Alle Wege führen nach Rom. }{Faulheit ist aller Laster Anfang. }{Alle Menschen werden Brüder, wo dein sanfter Flügel weilt. }{Wem der große Wurf gelungen, eines Freundes Freund zu sein, wer ein holdes Weib errungen, mische seinen Jubel ein!\zusatzfussnote {Dieser Satz ist im Konjunktiv formuliert, was eher auf eine Aufforderung hindeutet als auf eine Aussage. Man kann hier \anfuehrung{soll mischen}{} als Prädikat nehmen und damit arbeiten.} {} {} }{Freude trinken alle Wesen an den Brüsten der Natur. }{Alle Macht geht vom Volk aus. }{Alle Achtung. }{Alle Neune. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Schreibe die folgenden Aussagen mit Quantoren: \aufzaehlungvier{Für jede natürliche Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl. }{Für jede natürliche Zahl gibt es eine kleinere natürliche Zahl. }{Es gibt eine natürliche Zahl, die größer oder gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist. }{Es gibt eine natürliche Zahl, die kleiner oder gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist. } Welche sind wahr, welche falsch?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere die folgenden Beziehungen \zusatzklammer {ein- oder mehrstellige Prädikate} {} {} innerhalb der natürlichen Zahlen $\N=\{0,1,2,3, \ldots \}$ allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren. \aufzaehlungneun{ $x \geq y$. }{ $x> y$. }{ $x$ teilt $y$. }{ $x$ teilt nicht $y$. }{ $x$ ist eine Quadratzahl. }{ $x$ ist eine Primzahl. }{ $x$ ist keine Primzahl. }{ $x$ ist das Produkt von genau zwei verschiedenen Primzahlen. }{ $x$ wird von einer Primzahl geteilt.}
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe geht es nicht um die Wahrheit der Aussagen, sondern nur um die quantorenlogische Formulierung. Man darf und soll sich natürlich trotzdem Gedanken über die Gültigkeit machen.
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere die folgenden Aussagen über die natürlichen Zahlen $\N=\{0,1,2,3, \ldots \}$ allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren. \aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf { $5 \geq 3$. }{ $5 > 3$. }{ $5 \leq 3$. }{ $7$ ist eine Primzahl. }{ $8$ ist eine Primzahl. } } {\itemfuenf { $8$ ist keine Primzahl. }{ Jede natürliche Zahl besitzt mindestens einen Primfaktor.}{ Jede natürliche Zahl größer gleich $2$ besitzt mindestens einen Primfaktor. }{ Wenn eine Primzahl ein Produkt teilt, so teilt sie auch mindestens einen der Faktoren. }{ Es gibt Zahlen, die ein Produkt teilen, obwohl sie keinen der Faktoren teilen.} }
}
{} {}