Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 4/latex
\zwischenueberschrift{Injektivität und Surjektivität}
\inputaufgabe
{}
{
Eine Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) } {,} heißt \stichwort {streng wachsend} {,} wenn für alle $x_1,x_2 \in \R$ mit $x_1<x_2$ auch $f(x_1)<f(x_2)$ gilt. Zeige, dass eine streng wachsende Funktion $f$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Funktion
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {x^n
} {,}
auf
\definitionsverweis {Injektivität}{}{}
und
\definitionsverweis {Surjektivität}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass weder die Addition \maabbeledisp {+} {\R \times \R} {\R } {(x,y)} {x+y } {,} noch die Multiplikation \maabbeledisp {\cdot} {\R \times \R} {\R } {(x,y)} {x \cdot y } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $P$ eine Menge von Personen und $V$ die Menge der Vornamen von diesen Personen und $N$ die Menge der Nachnamen von diesen Personen. Definiere natürliche Abbildungen von $P$ nach $V$, nach $N$ und nach $V \times N$ und untersuche sie in Hinblick auf die relevanten Abbildungsbegriffe.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und $a,b \in M$ zwei verschiedene Elemente. Definiere durch eine Fallunterscheidung eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} von $M$ nach $M$, die \mathkor {} {a} {und} {b} {} vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt.
}
{(Eine solche Abbildung heißt \stichwort {Transposition} {).}} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe Beispiele für \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi, \psi} {\N} {\N } {} derart, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, und dass $\psi$ surjektiv, aber nicht injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man beschreibe eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen \mathkor {} {\N} {und} {\Z} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {.}
Zeige: Wenn $g \circ f$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, so ist auch $f$ injektiv.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {.}
Zeige: Wenn $g \circ f$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist, so ist auch $g$ surjektiv.
}
{} {}
Zeige durch Beispiele, dass bei den beiden vorhergehenden Aufgaben die Umkehrung nicht gilt.
\zwischenueberschrift{Graph einer Abbildung}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei \maabbdisp {f} {L} {M } {} eine Abbildung mit dem \definitionsverweis {Graphen}{}{} $\Gamma_f \subseteq L \times M$. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\psi= \operatorname{Id}_{ L } \times f} {L} {L\times M } {x} {(x, f(x)) } {,} eine Bijektion zwischen $L$ und dem Graphen $\Gamma_f$ induziert. Was ist die Verknüpfung von $\psi$ mit der zweiten Projektion \maabbeledisp {p_2} {L \times M} {M } {(x,y)} {y } {?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie kann man sich den \definitionsverweis {Graphen}{}{} einer Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\R^2} { \R } {} und wie sich den Graphen einer Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\R} { \R^2 } {} vorstellen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere den \definitionsverweis {Graphen}{}{} der reellen Addition \maabbeledisp {+} {\R \times \R} {\R } {(x,y)} {x+y } {,} und den Graphen der reellen Multiplikation \maabbeledisp {\cdot} {\R \times \R} {\R } {(x,y)} {x \cdot y } {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Mengenkonstruktionen und Abbildungen}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
Mengen und sei
\maabb {f} {M} {N
} {}
eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {f(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $M$ definiert wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $M,N,L$ Mengen. Stifte eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
zwischen
\mathdisp {\operatorname{Abb} \, { \left( M \times N , L \right) } \text{ und } \operatorname{Abb} \, { \left( M , \operatorname{Abb} \, { \left( N , L \right) } \right) }} { . }
}
{Man mache sich diese Situation für $M=N=[0,1]$ und $L= \R$ klar.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $M,N,L$ Mengen. Stifte eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
zwischen
\mathdisp {\operatorname{Abb} \, { \left( M , N \times L \right) } \text{ und } \operatorname{Abb} \, { \left( M , N \right) } \times \operatorname{Abb} \, { \left( M , L \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine Menge. Stifte eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
zwischen
\mathdisp {\mathfrak {P} \, (G ) \text{ und } \operatorname{Abb} \, { \left( G , \{0,1\} \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge, die als
\definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { A \uplus B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (M )}{} und der
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (A ) \times \mathfrak {P} \, (B )}{.} Wie verhalten sich diese beiden Mengen, wenn
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
zwar eine Vereinigung von $M$ ergeben, aber nicht disjunkt sind, und umgekehrt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {F} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Urbild}{}{}nehmen \maabbeledisp {} { \mathfrak {P} \, (M )} {\mathfrak {P} \, (L )} {T} {F^{-1}(T) } {,} folgende Eigenschaften besitzt \zusatzklammer {für beliebige Teilmengen $T,T_1,T_2 \subseteq M$} {} {}: \aufzaehlungdrei{ $F^{-1}(T_1 \cap T_2) = F^{-1} (T_1) \cap F^{-1} (T_2)$, }{ $F^{-1}(T_1 \cup T_2) = F^{-1} (T_1) \cup F^{-1} (T_2)$, }{ $F^{-1}(M \setminus T) =L \setminus F^{-1} (T)$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {F} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bildnehmen}{}{} \maabbeledisp {} {\mathfrak {P} \, (L )} {\mathfrak {P} \, (M )} {S} {F(S) } {,} folgende Eigenschaften besitzt \zusatzklammer {für beliebige Teilmengen $S,S_1,S_2 \subseteq L$} {} {}: \aufzaehlungdrei{ $F (S_1 \cap S_2) \subseteq F (S_1) \cap F (S_2)$, }{ $F(S_1 \cup S_2) = F(S_1) \cup F (S_2)$, }{ $F(L \setminus S) \supseteq F(L) \setminus F (S)$. } Zeige durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Abbildungen in der Aussagenlogik}
\inputaufgabe
{}
{
Interpretiere die Wahrheitstabellen zu den Junktoren $\neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow$ als Wertetabellen von Funktionen. Was sind die Definitions-, die Werte- und die Bildmengen dieser Funktionen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge von \definitionsverweis {Aussagenvariablen}{}{} und $S$ die damit definierte formale Sprache, also die Menge aller formalen Ausdrücke, die man von $M$ ausgehend mittels der Junktoren $\neg, \wedge, \vee, \rightarrow,\leftrightarrow$ und mit Klammern sinnvoll basteln kann. Zeige, dass es zu einer gegebenen Belegungsfunktion \maabbeledisp {\beta} {M} {\{w,f\} } {p} {\beta(p) } {,} eine eindeutig bestimmte Fortsetzung \maabbdisp {\tilde{\beta}} {S} {\{w,f\} } {} gibt, die die Bedeutung \zusatzklammer {die Wahrheitsfunktion} {} {} der Junktoren respektiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ eine Menge von \definitionsverweis {Aussagenvariablen}{}{} und $\alpha$ eine Aussage in der zugehörigen formalen Sprache $L^V$. Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} und es sei $\varphi(\alpha)$ diejenige Aussage, die entsteht, wenn man in $\alpha$ jede Aussagenvariable $p$ durch $\varphi(p)$ ersetzt. Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Wenn $\alpha$ eine \definitionsverweis {Tautologie}{}{} ist, so ist auch $\varphi(\alpha)$ eine Tautologie. }{Wenn $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, so ist $\alpha$ genau dann eine Tautologie, wenn dies für $\varphi(\alpha)$ gilt. }{$\varphi(\alpha)$ kann eine Tautologie sein, auch wenn $\alpha$ keine Tautologie ist. }{Die Aussagen gelten ebenso, wenn man überall Tautologie durch \definitionsverweis {Kontradiktion}{}{} ersetzt. }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Abbildungen aus dem Leben}
Die folgenden drei Aufgaben sind eher zum Diskutieren als zum Abgeben.
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich klar, in welcher Weise die in der Vorlesung angeführten Diagramme \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} darstellen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Modelliere\zusatzfussnote {Unter einem \stichwort {Modell} {} für eine alltägliche oder wissenschaftliche Begebenheit versteht man in der Mathematik eine mathematische Nachbildung, die wesentliche Strukturen der Begebenheit widerspiegelt. Dies spielt insbesondere in der \stichwort {angewandten Mathematik} {,} aber auch in der mathematischen Physik, den anderen Naturwissenschaften, der Ökonomie u.s.w. eine große Rolle} {} {} eine Bundestagswahl mit Hilfe von geeigneten Abbildungen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Studiere die \definitionsverweis {Abbildungen}{}{,} die in den folgenden Diagrammen beschrieben werden. Ist das Vokabular sinnvoll? Inwiefern sind die Abbildungen politisch, inwiefern mathematisch festgelegt?
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Steuertabelle_2009_single_zve_55.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Steuertabelle_2009_single_zve_55.jpg } {} {Udo.Brechtel} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Steuerprogression_Steuerbetragsfunktionen.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Steuerprogression_Steuerbetragsfunktionen.jpg } {} {Udo.Brechtel} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Steuerprogression_Steuersätze_Verlauf.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Steuerprogression_Steuersätze_Verlauf.jpg } {} {Udo.Brechtel} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
}
{} {}
Fußnoten[Bearbeiten]