Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 4/latex

\zwischenueberschrift{Injektivität und Surjektivität}

\inputaufgabe
{}
{

Eine Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) } {,} heißt \stichwort {streng wachsend} {,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1,x_2 }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1 }
{ < }{ x_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f (x_1) }
{ < }{ f(x_2 ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Zeige, dass eine streng wachsende Funktion $f$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {x^n } {,} auf \definitionsverweis {Injektivität}{}{} und \definitionsverweis {Surjektivität}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass weder die Addition \maabbeledisp {+} {\R \times \R} {\R } {(x,y)} {x+y } {,} noch die Multiplikation \maabbeledisp {\cdot} {\R \times \R} {\R } {(x,y)} {x \cdot y } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $P$ eine Menge von Personen und $V$ die Menge der Vornamen von diesen Personen und $N$ die Menge der Nachnamen von diesen Personen. Definiere natürliche Abbildungen von $P$ nach $V$, nach $N$ und nach $V \times N$ und untersuche sie in Hinblick auf die relevanten Abbildungsbegriffe.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und $a,b \in M$ zwei verschiedene Elemente. Definiere durch eine Fallunterscheidung eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} von $M$ nach $M$, die \mathkor {} {a} {und} {b} {} vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt.

}
{(Eine solche Abbildung heißt \stichwort {Transposition} {).}} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe Beispiele für \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi, \psi} {\N} {\N } {} derart, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, und dass $\psi$ surjektiv, aber nicht injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man beschreibe eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen \mathkor {} {\N} {und} {\Z} {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{} mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \maabbeledisp {g \circ f} {L} {N } {x} {g(f(x)) } {.} Zeige: Wenn $g \circ f$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, so ist auch $f$ injektiv.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{} mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \maabbeledisp {g \circ f} {L} {N } {x} {g(f(x)) } {.} Zeige: Wenn $g \circ f$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, so ist auch $g$ surjektiv.

}
{} {} Zeige durch Beispiele, dass bei den beiden vorhergehenden Aufgaben die Umkehrung nicht gilt.

\zwischenueberschrift{Graph einer Abbildung}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei \maabbdisp {f} {L} {M } {} eine Abbildung mit dem \definitionsverweis {Graphen}{}{} $\Gamma_f \subseteq L \times M$. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\psi= \operatorname{Id}_{ L } \times f} {L} {L\times M } {x} {(x, f(x)) } {,} eine Bijektion zwischen $L$ und dem Graphen $\Gamma_f$ induziert. Was ist die Verknüpfung von $\psi$ mit der zweiten Projektion \maabbeledisp {p_2} {L \times M} {M } {(x,y)} {y } {?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wie kann man sich den \definitionsverweis {Graphen}{}{} einer \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} { \R } {} und wie sich den Graphen einer Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\R} { \R^2 } {} vorstellen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere den \definitionsverweis {Graphen}{}{} der reellen Addition \maabbeledisp {+} {\R \times \R} {\R } {(x,y)} {x+y } {,} und den Graphen der reellen Multiplikation \maabbeledisp {\cdot} {\R \times \R} {\R } {(x,y)} {x \cdot y } {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Mengenkonstruktionen und Abbildungen}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} Mengen und sei \maabb {f} {M} {N } {} eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ \sim} {y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {f(y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $M$ definiert wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $M,N,L$ Mengen. Stifte eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen
\mathdisp {\operatorname{Abb} \, { \left( M \times N , L \right) } \text{ und } \operatorname{Abb} \, { \left( M , \operatorname{Abb} \, { \left( N , L \right) } \right) }} { . }

}
{Man mache sich diese Situation für $M=N=[0,1]$ und $L= \R$ klar.} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $M,N,L$ Mengen. Stifte eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen
\mathdisp {\operatorname{Abb} \, { \left( M , N \times L \right) } \text{ und } \operatorname{Abb} \, { \left( M , N \right) } \times \operatorname{Abb} \, { \left( M , L \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine Menge. Stifte eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen
\mathdisp {\mathfrak {P} \, (G ) \text{ und } \operatorname{Abb} \, { \left( G , \{0,1\} \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge, die als \definitionsverweis {disjunkte Vereinigung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { A \uplus B }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (M )}{} und der \definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (A ) \times \mathfrak {P} \, (B )}{.} Wie verhalten sich diese beiden Mengen, wenn \mathkor {} {A} {und} {B} {} zwar eine Vereinigung von $M$ ergeben, aber nicht disjunkt sind, und umgekehrt?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {F} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Urbild}{}{}nehmen \maabbeledisp {} { \mathfrak {P} \, (M ) } { \mathfrak {P} \, (L ) } { T } { F^{-1}(T) } {,} folgende Eigenschaften besitzt \zusatzklammer {für beliebige Teilmengen
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ T,T_1,T_2 }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {:} \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{-1}(T_1 \cap T_2) }
{ =} { F^{-1} (T_1) \cap F^{-1} (T_2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{-1}(T_1 \cup T_2) }
{ =} { F^{-1} (T_1) \cup F^{-1} (T_2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F^{-1}(M \setminus T) }
{ =} { L \setminus F^{-1} (T) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {F} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bildnehmen}{}{} \maabbeledisp {} {\mathfrak {P} \, (L ) } { \mathfrak {P} \, (M )} {S} {F(S) } {,} folgende Eigenschaften besitzt \zusatzklammer {für beliebige Teilmengen
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ S,S_1,S_2 }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {:} \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F (S_1 \cap S_2) }
{ \subseteq }{ F (S_1) \cap F (S_2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(S_1 \cup S_2) }
{ = }{ F(S_1) \cup F (S_2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(L \setminus S) }
{ \supseteq }{ F(L) \setminus F (S) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}} Zeige durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Abbildungen in der Aussagenlogik}

\inputaufgabe
{}
{

Interpretiere die Wahrheitstabellen zu den Junktoren $\neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow$ als Wertetabellen von Funktionen. Was sind die Definitions-, die Werte- und die Bildmengen dieser Funktionen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge von \definitionsverweis {Aussagenvariablen}{}{} und $S$ die damit definierte formale Sprache, also die Menge aller formalen Ausdrücke, die man von $M$ ausgehend mittels der Junktoren $\neg, \wedge, \vee, \rightarrow,\leftrightarrow$ und mit Klammern sinnvoll basteln kann. Zeige, dass es zu einer gegebenen Belegungsfunktion \maabbeledisp {\beta} {M} {\{w,f\} } {p} {\beta(p) } {,} eine eindeutig bestimmte Fortsetzung \maabbdisp {\tilde{\beta}} {S} {\{w,f\} } {} gibt, die die Bedeutung \zusatzklammer {die Wahrheitsfunktion} {} {} der Junktoren respektiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ eine Menge von \definitionsverweis {Aussagenvariablen}{}{} und $\alpha$ eine Aussage in der zugehörigen formalen Sprache $L^V$. Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} und es sei $\varphi(\alpha)$ diejenige Aussage, die entsteht, wenn man in $\alpha$ jede Aussagenvariable $p$ durch $\varphi(p)$ ersetzt. Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Wenn $\alpha$ eine \definitionsverweis {Tautologie}{}{} ist, so ist auch $\varphi(\alpha)$ eine Tautologie. }{Wenn $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, so ist $\alpha$ genau dann eine Tautologie, wenn dies für $\varphi(\alpha)$ gilt. }{$\varphi(\alpha)$ kann eine Tautologie sein, auch wenn $\alpha$ keine Tautologie ist. }{Die Aussagen gelten ebenso, wenn man überall Tautologie durch \definitionsverweis {Kontradiktion}{}{} ersetzt. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Abbildungen aus dem Leben}

Die folgenden drei Aufgaben sind eher zum Diskutieren als zum Abgeben.


\inputaufgabe
{}
{

Man mache sich klar, in welcher Weise die in der Vorlesung angeführten Diagramme \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} darstellen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Modelliere\zusatzfussnote {Unter einem \stichwort {Modell} {} für eine alltägliche oder wissenschaftliche Begebenheit versteht man in der Mathematik eine mathematische Nachbildung, die wesentliche Strukturen der Begebenheit widerspiegelt. Dies spielt insbesondere in der \stichwort {angewandten Mathematik} {,} aber auch in der mathematischen Physik, den anderen Naturwissenschaften, der Ökonomie u.s.w. eine große Rolle} {} {} eine Bundestagswahl mit Hilfe von geeigneten Abbildungen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Studiere die \definitionsverweis {Abbildungen}{}{,} die in den folgenden Diagrammen beschrieben werden. Ist das Vokabular sinnvoll? Inwiefern sind die Abbildungen politisch, inwiefern mathematisch festgelegt?

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Steuertabelle_2009_single_zve_55.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Steuertabelle_2009_single_zve_55.jpg } {} {Udo.Brechtel} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Steuerprogression_Steuerbetragsfunktionen.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Steuerprogression_Steuerbetragsfunktionen.jpg } {} {Udo.Brechtel} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Steuerprogression_Steuersätze_Verlauf.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Steuerprogression_Steuersätze_Verlauf.jpg } {} {Udo.Brechtel} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

}
{} {}