Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Definitionsliste

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Definition:Teilmenge

Es seien und Mengen. Man sagt, dass eine Teilmenge von ist, wenn jedes Element von auch ein Element von ist. Diese Beziehung drückt man durch

aus und sagt auch, dass eine Inklusion vorliegt.



Definition:Produkt von zwei Mengen

Es seien zwei Mengen und gegeben. Dann nennt man die Menge

die Produktmenge der beiden Mengen.



Definition:Potenzmenge

Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von . Sie wird mit

bezeichnet.



Definition:Relation zwischen zwei Mengen

Es seien und Mengen. Eine Relation zwischen den Mengen und ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .



Definition:Relation auf einer Menge

Eine Relation auf einer Menge ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .



Definition:Relationseigenschaften

Es sei eine Menge und eine Relation auf . Man nennt

    • reflexiv, wenn

    gilt für alle .

    • transitiv, wenn für beliebige

    aus und aus stets folgt.

    • symmetrisch, wenn für beliebige

    aus auch folgt.

    • antisymmetrisch, wenn für beliebige

    aus und die Gleichheit folgt.



    Definition:Ordnungsrelation

    Eine Relation auf einer Menge heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

    1. Es ist für alle .
    2. Aus und folgt stets .
    3. Aus und folgt .


    Definition:Äquivalenzrelation

    Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation , die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ).

    1. Es ist (reflexiv).
    2. Aus folgt (symmetrisch).
    3. Aus und folgt (transitiv).

    Dabei bedeutet , dass das Paar zu gehört.



    Definition:Äquivalenzklasse

    Es sei eine Äquivalenzrelation und . Dann ist

    die Äquivalenzklasse von bezüglich .



    Definition:Neutrales Element

    Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung

    gegeben. Dann heißt ein Element neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle die Gleichheit gilt.



    Definition:Inverses Element

    Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung

    und einem neutralen Element gegeben. Dann heißt zu einem Element ein Element inverses Element, wenn die Gleichheit

    gilt.



    Definition:Peano-Axiome

    Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element (die Null) und einer (Nachfolger)-Abbildung

    heißt natürliche Zahlen (oder Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen), wenn die folgenden Dedekind-Peano-Axiome erfüllt sind.

    1. Das Element ist kein Nachfolger (die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung).
    2. Jedes ist Nachfolger höchstens eines Elementes (d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv).
    3. Für jede Teilmenge gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
        • ,
        • mit jedem Element
        ist auch ,

      gelten, so ist .



      Definition:Fakultät

      Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl

      die Fakultät von (sprich Fakultät).



      Definition:Binomialkoeffizient

      Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man

      den Binomialkoeffizienten über “.



      Definition:Endliche Mengen

      Eine Menge heißt endlich mit Elementen, wenn es eine Bijektion

      gibt.



      Definition:Körper

      Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

      und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

      1. Axiome der Addition
        1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
        2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
        3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
        4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
      2. Axiome der Multiplikation
        1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
        2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
        3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
        4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
      3. Distributivgesetz: Für alle gilt .


      Definition:Gruppe

      Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer Verknüpfung

      heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

      1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
      2. Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
      3. Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit


      Definition:Angeordneter Körper

      Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften

      1. Aus folgt (für beliebige ),
      2. Aus und folgt (für beliebige ),

      erfüllt.



      Definition:Intervalle

      Es sei ein angeordneter Körper. Zu , , nennt man

        das abgeschlossene Intervall.

        das offene Intervall.

        das linksseitig offene Intervall.

        das rechtsseitig offene Intervall.



        Definition:Betrag

        In einem angeordneten Körper ist der Betrag eines Elementes folgendermaßen definiert.



        Definition:Gaußklammer

        Die Gaußklammer ist die Funktion

        die durch

        definiert wird.



        Definition:Archimedisch angeordneter Körper

        Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit

        gibt.