Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2009)/Definitionsliste

Definition:Teilmenge

Es seien ${}T$ und ${}M$ Mengen. Man sagt, dass ${}T$ eine Teilmenge von ${}M$ ist, wenn jedes Element von ${}T$ auch ein Element von ${}M$ ist. Diese Beziehung drückt man durch

${}T\subseteq M\,$

aus und sagt auch, dass eine Inklusion  ${}T\subseteq M$  vorliegt.

Definition:Produkt von zwei Mengen

Es seien zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

${}L\times M=\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}\,$

die Produktmenge der beiden Mengen.

Definition:Potenzmenge

Zu einer Menge ${}M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von ${}M$ die Potenzmenge von ${}M$. Sie wird mit

${\mathfrak {P}}\,(M)$

bezeichnet.

Definition:Relation zwischen zwei Mengen

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen. Eine Relation ${}R$ zwischen den Mengen ${}M$ und ${}N$ ist eine Teilmenge der Produktmenge ${}M\times N$, also  ${}R\subseteq M\times N$. 

Definition:Relation auf einer Menge

Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge ${}M\times M$, also  ${}R\subseteq M\times M$. 

Definition:Relationseigenschaften

Es sei ${}M$ eine Menge und  ${}R\subseteq M\times M$  eine Relation auf ${}M$. Man nennt ${}R$

• reflexiv, wenn

 ${}(x,x)\in R$  gilt für alle  ${}x\in M$. 

• transitiv, wenn für beliebige

 ${}x,y,z\in M$  aus ${}(x,y)\in R$ und aus ${}(y,z)\in R$ stets  ${}(x,z)\in R$  folgt.

• symmetrisch, wenn für beliebige

 ${}x,y\in M$  aus  ${}(x,y)\in R$  auch  ${}(y,x)\in R$  folgt.

• antisymmetrisch, wenn für beliebige

 ${}x,y\in M$  aus ${}(x,y)\in R$ und ${}(y,x)\in R$ die Gleichheit  ${}x=y$  folgt.

Definition:Ordnungsrelation

Eine Relation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist  ${}i\preccurlyeq i$  für alle  ${}i\in I$. 
2. Aus  ${}i\preccurlyeq j$  und  ${}j\preccurlyeq k$  folgt stets  ${}i\preccurlyeq k$. 
3. Aus  ${}i\preccurlyeq j$  und  ${}j\preccurlyeq i$  folgt  ${}i=j$. 

Definition:Äquivalenzrelation

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ${}M$ ist eine Relation  ${}R\subseteq M\times M$,  die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ${}x,y,z\in M$).

1. Es ist  ${}x\sim x$  (reflexiv).
2. Aus  ${}x\sim y$  folgt  ${}y\sim x$  (symmetrisch).
3. Aus  ${}x\sim y$  und  ${}y\sim z$  folgt  ${}x\sim z$  (transitiv).

Dabei bedeutet  ${}x\sim y$,  dass das Paar ${}(x,y)$ zu ${}R$ gehört.

Definition:Äquivalenzklasse

Es sei  ${}R\subseteq M\times M$  eine Äquivalenzrelation und  ${}x\in M$.  Dann ist

${}[x]:=\left\{y\in M\mid (x,y)\in R\right\}\,$

die Äquivalenzklasse von ${}x$ bezüglich ${}R$.

Definition:Neutrales Element

Es sei eine Menge ${}M$ mit einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

gegeben. Dann heißt ein Element  ${}e\in M$  neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle  ${}x\in M$  die Gleichheit  ${}x\circ e=x=e\circ x$  gilt.

Definition:Inverses Element

Es sei eine Menge ${}M$ mit einer Verknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

und einem neutralen Element  ${}e\in M$  gegeben. Dann heißt zu einem Element  ${}x\in M$  ein Element  ${}y\in M$  inverses Element (zu ${}x$), wenn die Gleichheit

${}x\circ y=e=y\circ x\,$

gilt.

Definition:Peano-Axiome

Eine Menge ${}N$ mit einem ausgezeichneten Element  ${}0\in N$  (die Null) und einer (Nachfolger)-Abbildung

$'\colon N\longrightarrow N,\,n\longmapsto n',$

heißt natürliche Zahlen (oder Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen), wenn die folgenden Dedekind-Peano-Axiome erfüllt sind.

1. Das Element ${}0$ ist kein Nachfolger (die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung).
2. Jedes  ${}n\in N$  ist Nachfolger höchstens eines Elementes (d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv).
3. Für jede Teilmenge  ${}T\subseteq N$  gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
   •  ${}0\in T$, 
   • mit jedem Element
    ${}n\in T$  ist auch  ${}n'\in T$, 

gelten, so ist  ${}T=N$. 

Definition:Fakultät

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ nennt man die Zahl

${}n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\,$

die Fakultät von ${}n$ (sprich ${}n$ Fakultät).

Definition:Binomialkoeffizient

Es seien ${}k$ und ${}n$ natürliche Zahlen mit  ${}k\leq n$.  Dann nennt man

${}{\binom {n}{k}}:={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,$

den Binomialkoeffizienten „ ${}n$ über ${}k$ “.

Definition:Endliche Mengen

Eine Menge ${}M$ heißt endlich mit ${}n$ Elementen, wenn es eine Bijektion

$\{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M$

gibt.

Definition:Körper

Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

und zwei verschiedene Elemente  ${}0,1\in K$  gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle  ${}a,b,c\in K$  gilt:  ${}(a+b)+c=a+(b+c)$. 
   2. Kommutativgesetz: Für alle  ${}a,b\in K$  gilt  ${}a+b=b+a$. 
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle  ${}a\in K$  ist  ${}a+0=a$. 
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem  ${}a\in K$  gibt es ein Element  ${}b\in K$  mit  ${}a+b=0$. 
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle  ${}a,b,c\in K$  gilt:  ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$. 
   2. Kommutativgesetz: Für alle  ${}a,b\in K$  gilt  ${}a\cdot b=b\cdot a$. 
   3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle  ${}a\in K$  ist  ${}a\cdot 1=a$. 
   4. Existenz des Inversen: Zu jedem  ${}a\in K$  mit  ${}a\neq 0$  gibt es ein Element  ${}c\in K$  mit  ${}a\cdot c=1$. 
3. Distributivgesetz: Für alle  ${}a,b,c\in K$  gilt  ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$. 

Definition:Gruppe

Eine Menge ${}G$ mit einem ausgezeichneten Element  ${}e\in G$  und mit einer Verknüpfung

$G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle  ${}f,g,h\in G$  gilt

   ${}(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\,.$

2. Das Element ${}e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle  ${}g\in G$  gilt

   ${}g\circ e=g=e\circ g\,.$

3. Zu jedem  ${}g\in G$  gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein  ${}h\in G$  mit

   ${}h\circ g=g\circ h=e\,.$

Definition:Angeordneter Körper

Ein Körper ${}K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung ${}\geq$ auf ${}K$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus  ${}a\geq b$  folgt  ${}a+c\geq b+c$  (für beliebige ${}a,b,c\in K$),
2. Aus  ${}a\geq 0$  und  ${}b\geq 0$  folgt  ${}ab\geq 0$  (für beliebige ${}a,b\in K$),

erfüllt.

Definition:Intervalle

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zu ${}a,b\in K$, ${}a\leq b$, nennt man

•  ${}[a,b]=\left\{x\in K\mid a\leq x{\text{ und }}x\leq b\right\}$ 

das abgeschlossene Intervall.

•  ${}]a,b[=\left\{x\in K\mid a<x{\text{ und }}x<b\right\}$ 

das offene Intervall.

•  ${}]a,b]=\left\{x\in K\mid a<x{\text{ und }}x\leq b\right\}$ 

das linksseitig offene Intervall.

•  ${}[a,b[=\left\{x\in K\mid a\leq x{\text{ und }}x<b\right\}$ 

das rechtsseitig offene Intervall.

Definition:Betrag

In einem angeordneten Körper ${}K$ ist der Betrag eines Elementes  ${}x\in K$  folgendermaßen definiert.

${}\vert {x}\vert ={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\-x,\,{\text{ falls }}x<0\,.\end{cases}}\,$

Definition:Gaußklammer

Die Gaußklammer ist die Funktion

$[\,]\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto [x],$

die durch

$[x]=n,{\text{ wobei }}n\in \mathbb {Z} {\text{ so gewählt wird, dass }}x\in [n,n+1[{\text{ ist}},$

definiert wird.

Definition:Archimedisch angeordneter Körper

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Dann heißt ${}K$ archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem  ${}x\in K$  eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}n\geq x\,$

gibt.