Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 1/latex
\setcounter{section}{W1}
\zwischenueberschrift{Anwesenheitsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Abbildung \maabbele {f} {\N} {\N } {n} {\betrag { n-2 } } {.}
\aufzaehlungvier{Ist $f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?
}{Es sei
\mathl{A:=\{1,2,3\}}{.} Berechne
\mathl{f(A)}{} und
\mathl{f^{-1}(A)}{.}
}{Berechne
\mathl{f(f^{-1}(A))}{} und
\mathl{f^{-1}(f(A))}{.}
}{Führe die Rechnungen aus 1. und 2. für die Menge
\mathl{B:=\{2,3,4\}}{} aus. Was fällt auf?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabb {f} {L} {M
} {}
und
\maabb {g} {M} {N
} {}
Abbildungen. Zeige die folgenden beiden Aussagen:
\aufzaehlungzwei {Wenn $f$ surjektiv ist und die Komposition
\mathl{g \circ f}{} injektiv, dann ist $g$ injektiv.
} {Wenn die Komposition
\mathl{g \circ f}{} surjektiv ist und $g$ injektiv, dann ist $f$ surjektiv.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und
\mathl{(R_i)_{i \in I}}{} eine Familie von
\definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{}
auf $M$. Zeige, dass durch den Durchschnitt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \defeq }{ \bigcap_{i \in I} R_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wieder eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert ist. Gilt dies auch für
\mathl{\bigcup_{i \in I} R_i}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die zweielementige Menge
\mathl{M=\{a,b\}}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme alle
\definitionsverweis {Relationen}{}{}
auf $M$.
}{Welche dieser Relationen sind
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{,}
\definitionsverweis {reflexiv}{}{,}
\definitionsverweis {transitiv}{}{?}
}{Bei welchen Relationen handelt es sich um
\definitionsverweis {Äquivalenzrelationen}{}{?}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \subseteq }{ \mathfrak {P} \, (M )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann heißt $P$ eine
\betonung{Partition}{} von $M$, falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \in }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A,B
}
{ \in }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \neq }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A \cap B
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die Elemente von $P$ bilden eine Überdeckung von $M$, d.h. jedes Element von $M$ liegt in mindestens einem Element von $P$.
}
Beweise, dass die
\definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M/\sim
}
{ = }{ { \left\{ [x] \mid x \in M \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einer
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
$\sim$ eine Partition der Menge $M$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \subseteq }{ \mathfrak {P} \, (M )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Partition}{}{.}
Zeige, dass $P$ durch
\mathdisp {x \sim y, \text{ falls es ein } A \in P \text{ gibt mit } x \in A \text{ und } y \in A} { , }
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $M$ induziert. Berechne diese Relation für die Partition
\mathl{\{ \{1\},\{2,3,4\},\{5,6\}, \{7\} \}}{} der Menge
\mathl{\{1,2,3,4,5,6,7 \}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die folgende Relation eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $\Z$ ist:
\mathdisp {x \sim y, \text{ falls } 5 \text{ teilt } x-y} { . }
Bestimme die Äquivalenzklassen zu dieser Relation.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {f} {\N} {\Z } {n} {\begin{cases} -\frac{n}{2}, \text{ falls } n \text{ gerade} \, ,\\ \frac{n+1}{2}, \text{ falls } n \text{ ungerade} \, . \end{cases} } {} Ist $f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{,}
wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C^1(I,\R)
}
{ \defeq} { { \left\{ f: I \rightarrow \R \mid f \text{ ist differenzierbar} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ C^1(I,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definieren wir
\mathdisp {f \sim g, \text{ falls es ein } c \in \R \text{ gibt mit } f(x)=g(x) + c \text { für alle } x \in I} { . }
Liegt eine Äquivalenzrelation vor? Wenn ja, beschreibe die Äquivalenzklassen.
}
{} {}