Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 1

Anwesenheitsaufgaben

Aufgabe

Betrachte die Abbildung ${}f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, ${}n\longmapsto \vert {n-2}\vert$.

1. Ist ${}f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?
2. Es sei ${}A:=\{1,2,3\}$. Berechne ${}f(A)$ und ${}f^{-1}(A)$.
3. Berechne ${}f(f^{-1}(A))$ und ${}f^{-1}(f(A))$.
4. Führe die Rechnungen aus 1. und 2. für die Menge ${}B:=\{2,3,4\}$ aus. Was fällt auf?

Aufgabe

Es seien ${}f\colon L\rightarrow M$ und ${}g\colon M\rightarrow N$ Abbildungen. Zeige die folgenden beiden Aussagen:

1. Wenn ${}f$ surjektiv ist und die Komposition ${}g\circ f$ injektiv, dann ist ${}g$ injektiv.
2. Wenn die Komposition ${}g\circ f$ surjektiv ist und ${}g$ injektiv, dann ist ${}f$ surjektiv.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}(R_{i})_{i\in I}$ eine Familie von Äquivalenzrelationen auf ${}M$. Zeige, dass durch den Durchschnitt ${}R:=\bigcap _{i\in I}R_{i}$ wieder eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert ist. Gilt dies auch für ${}\bigcup _{i\in I}R_{i}$?

Aufgabe

Betrachte die zweielementige Menge ${}M=\{a,b\}$.

1. Bestimme alle Relationen auf ${}M$.
2. Welche dieser Relationen sind symmetrisch, reflexiv, transitiv?
3. Bei welchen Relationen handelt es sich um Äquivalenzrelationen?

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}P\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)\,$. Dann heißt ${}P$ eine Partition von ${}M$, falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Für alle ${}A\in P$ gilt ${}A\neq \emptyset$.
2. Für ${}A,B\in P$, ${}A\neq B$, gilt ${}A\cap B=\emptyset$.
3. Die Elemente von ${}P$ bilden eine Überdeckung von ${}M$, d.h. jedes Element von ${}M$ liegt in mindestens einem Element von ${}P$.

Beweise, dass die Quotientenmenge ${}M/\sim \,=\{[x]:x\in M\}$ zu einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ eine Partition der Menge ${}M$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}P\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)$ eine Partition. Zeige, dass ${}P$ durch

$x\sim y,{\text{ falls es ein }}A\in P{\text{ gibt mit }}x\in A{\text{ und }}y\in A,$

eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ induziert. Berechne diese Relation für die Partition ${}\{\{1\},\{2,3,4\},\{5,6\},\{7\}\}$ der Menge ${}\{1,2,3,4,5,6,7\}$.

Aufgabe

Zeige, dass die folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf ${}\mathbb {Z}$ ist:

$x\sim y,{\text{ falls }}5{\text{ teilt }}x-y.$

Bestimme die Äquivalenzklassen zu dieser Relation.

Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)

Aufgabe * (4 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto {\begin{cases}-{\frac {n}{2}},{\text{ falls }}n{\text{ gerade}}\,,\\{\frac {n+1}{2}},{\text{ falls }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}$

Ist ${}f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und betrachte die Menge

${}C^{1}(I,\mathbb {R} ):=\{f:I\rightarrow \mathbb {R} :f{\text{ ist differenzierbar}}\}\,.$

Für ${}f,g\in C^{1}(I,\mathbb {R} )$ definieren wir

$f\sim g,{\text{ falls es ein }}c\in \mathbb {R} {\text{ gibt mit }}f(x)=g(x)+c{\text{ für alle }}x\in I.$

Liegt eine Äquivalenzrelation vor? Wenn ja, beschreibe die Äquivalenzklassen.

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