Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 10/latex
\setcounter{section}{W10}
\zwischenueberschrift{Anwesenheitsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Bild}{}{} und den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^4} {\R^4 } {\begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ x_3\\x_4 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & 7 & -1 \\ -1 & 2 & 3 & -2 \\ -2 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ x_3\\x_4 \end{pmatrix} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabb {f} {V } {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} f
}
{ = }{ \operatorname{kern} { \left( f \circ f \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} f \cap \operatorname{bild} f
}
{ = }{ \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ \operatorname{kern} f \oplus \operatorname{bild} f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{bild} f
}
{ = }{ \operatorname{bild} { \left( f \circ f \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei die lineare Abbildung
\maabb {f} {\R^3 } {\R^4
} {}
durch $f(x,y,z)=(x+2z,y-z,x+y,2x+3z)$ definiert.
\aufzaehlungzwei {Bestimme die zu $f$ korrespondierende Matrix $A$. Ist $f$ injektiv?
} {Es sei $\mathcal{B}=\{v_1,v_2,v_3\}$ eine Basis des $\R^3$ gegeben durch
\mathdisp {v_1=\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1 \end{pmatrix}, \, v_2=\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0 \end{pmatrix}, \, v_3=\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { }
und sei $\mathcal{B}'=\{w_1,w_2,w_3,w_4\}$ eine Basis des $\R^4$ gegeben durch
\mathdisp {w_1=\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1\\1 \end{pmatrix}, \, w_2=\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1\\0 \end{pmatrix}\, ,w_3=\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0\\0 \end{pmatrix}, \, w_4=\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix}} { . }
Berechne $A^\mathcal{B}_{\mathcal{B}'}(f)$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { K^3 } { K^2
} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix}
} {.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ K^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der durch die lineare Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2x+3y+4z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von $K^3$, und $\psi$ sei die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
von $\varphi$ auf $U$. Zu $U$ gehören Vektoren der Form
\mathdisp {u = (0,1,a),\, v = (1,0,b) \text{ und } w = (1,c,0)} { . }
Berechne
\mathl{a,b,c}{} und die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {Basen}{}{}
\mathdisp {\mathfrak{ b }_1= v,w , \, \mathfrak{ b }_2 = u,w \text{ und } \mathfrak{ b }_3 = u,v} { }
von $U$ sowie die
\definitionsverweis {beschreibenden Matrizen}{}{}
für $\psi$ bezüglich dieser drei Basen
\zusatzklammer {und der Standardbasis auf $K^2$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ist $\operatorname{dim}_{\Q} \,\R < \infty$?
}
{} {Hinweis: Verwende die Tatsache (ohne Beweis), dass $\R$ nicht abzählbar ist.}
\zwischenueberschrift{Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)}
\inputaufgabe
{}
{
Seien
\mathdisp {A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) \mbox{ und } b=\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix}.} { }
Bestimme
\aufzaehlungdrei{$\operatorname{Rang}(A)$;
}{eine Basis und die Dimension des Lösungsraums des homogenen Gleichungssystems $A \cdot x =0$;
}{die Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems $A \cdot x = b$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die Determinante der Matrix
\mathdisp {A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & 3 & -1 \\ 3 & 2 & 4 & -3 \\ 2 & -2 & 2 & 3 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}