Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{W3}
\zwischenueberschrift{Anwesenheitsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für jede
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Ungleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x+ { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt ist. Wann gilt Gleichheit?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum, sofern diese existieren, der folgenden Teilmengen der reellen Zahlen:
\aufzaehlungdrei{
\mathl{\left\{ (-1)^n - \frac{1}{n} ~ : ~n \in \N_+ \right\}}{,}
}{
\mathl{\left\{ \frac{x}{1+x}~ : ~x \in \R, ~x > -1 \right\}}{,}
}{ $\left\{\frac{1}{n}+ \frac{1}{m} ~:~ n,m \in \N_+ \right\}$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $A$ und $B$ beschränkte Teilmengen von $\R$. Ferner sei
\mathl{A + B := { \left\{ a + b \mid a \in A , \, b \in B \right\} }}{} und
\mathl{A - B := { \left\{ a - b \mid a \in A , \, b \in B \right\} }}{.}
\aufzaehlungfuenf{Zeige, dass
\mathl{\sup(A+B) = \sup(A) + \sup(B)}{.}
}{Wie lautet die entsprechende Formel für
\mathl{\sup(A-B)}{?}
}{Zeige, dass
\mathl{\sup(A \cup B) = \max \{\sup(A), \sup(B) \}}{.}
}{Was lässt sich über
\mathl{\sup(A \cap B)}{} sagen?
}{Wie lautet die Entsprechung zu 3. für unendlich viele Mengen?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{X \subset \R}{} eine echte Teilmenge mit den folgenden Eigenschaften:
\aufzaehlungdrei{
\mathl{X \neq \empty}{,}
}{aus
\mathl{x \in X}{} und
\mathl{y < x}{} folgt
\mathl{y \in X}{,}
}{aus
\mathl{x \in X}{} folgt, dass es ein
\mathl{z \in X}{} gibt mit
\mathl{x < z}{.}
}
Zeige, dass es ein
\mathl{a \in \R}{} gibt mit
\mathdisp {X = {]{- \infty}, a[} = \{x \in \R:x < a \}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die durch $x_0:=1, x_{n+1}:=x_n+\frac{1}{x_n}$ rekursiv definierte Folge $(x_n)_{n \in \N}$.
Ist $(x_n)_{n \in \N}$ beschränkt? Konvergiert die Folge?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $y \in \R_{\geq 0}$ und $n \in \N$, $n \geq 2$. Zeige, dass $(1+y)^n \geq { \frac{ n^2y^2 }{ 4 } }$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Für welche
\mathl{a,b \in \R}{} gilt die Ungleichung
\mathl{a^3+b^3 \geq ab(a+b)}{?}
}
{} {}