Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 3

Anwesenheitsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass für jede reelle Zahl ${}x>0$ die Ungleichung ${}x+{\frac {1}{x}}\geq 2$ erfüllt ist. Wann gilt Gleichheit?

Aufgabe

Bestimme Supremum, Infimum, Maximum und Minimum, sofern diese existieren, der folgenden Teilmengen der reellen Zahlen:

1. ${}\left\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}~:~n\in \mathbb {N} _{+}\right\}$,
2. ${}\left\{{\frac {x}{1+x}}~:~x\in \mathbb {R} ,~x>-1\right\}$,
3. ${}\left\{{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}~:~n,m\in \mathbb {N} _{+}\right\}$.

Aufgabe

Es seien ${}A$ und ${}B$ beschränkte Teilmengen von ${}\mathbb {R}$. Ferner sei ${}A+B:={\left\{a+b\mid a\in A,\,b\in B\right\}}$ und ${}A-B:={\left\{a-b\mid a\in A,\,b\in B\right\}}$.

1. Zeige, dass ${}\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$.
2. Wie lautet die entsprechende Formel für ${}\sup(A-B)$?
3. Zeige, dass ${}\sup(A\cup B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}$.
4. Was lässt sich über ${}\sup(A\cap B)$ sagen?
5. Wie lautet die Entsprechung zu 3. für unendlich viele Mengen?

Aufgabe

Es sei ${}X\subset \mathbb {R}$ eine echte Teilmenge mit den folgenden Eigenschaften:

1. ${}X\neq \emptyset$,
2. aus ${}x\in X$ und ${}y<x$ folgt ${}y\in X$,
3. aus ${}x\in X$ folgt, dass es ein ${}z\in X$ gibt mit ${}x<z$.

Zeige, dass es ein ${}a\in \mathbb {R}$ gibt mit

$X={]{-\infty },a[}=\{x\in \mathbb {R} :x<a\}.$

Aufgabe

Betrachte die durch ${}x_{0}:=1,x_{n+1}:=x_{n}+{\frac {1}{x_{n}}}$ rekursiv definierte Folge ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$.

Ist ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt? Konvergiert die Folge?

Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}y\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und ${}n\in \mathbb {N}$, ${}n\geq 2$. Zeige, dass ${}(1+y)^{n}\geq {\frac {n^{2}y^{2}}{4}}$ gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Für welche ${}a,b\in \mathbb {R}$ gilt die Ungleichung ${}a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$?

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