Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 5/latex
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\zwischenueberschrift{Anwesenheitsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {Folgen}{}{} in $K$. Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text { für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen diesen Grenzwert $a$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $(x_n)_{n \in \N}$ eine monoton fallende Nullfolge. Beweise den folgenden Satz \zusatzklammer {Satz von Olivier} {} {}: Wenn die Reihe $\sum_{n=0}^{\infty} x_n$ konvergiert, dann ist $(n \cdot x_n)_{n \in \N}$ eine Nullfolge.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz: \aufzaehlungzwei {$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$, } {$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 + (-1)^n} {2^n}$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{4n^2 - 1}
}
{ = }{ \frac{1}{2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ist das Cauchy-Produkt
\mathl{\left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k} {k !} \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{\infty} \frac{y^j} {j!} \right)}{} konvergent? Berechne das Cauchyprodukt explizit!
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz: \aufzaehlungdrei{$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+3}{n^3-n^2-n+2}$, }{$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+ \sqrt{n} }{n^2 - \sqrt{n} +1}$, }{$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die folgenden beiden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
\aufzaehlungzwei {
\mathl{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}}{,}
} {
\mathl{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot n} {n^2 + 1}}{.}
}
}
{} {}