Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 5

Anwesenheitsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$. Es gelte ${}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$. Zeige, dass dann auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Nullfolge. Beweise den folgenden Satz (Satz von Olivier): Wenn die Reihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$ konvergiert, dann ist ${}(n\cdot x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge.

Aufgabe

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:

1. ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n!}{n^{n}}}$,
2. ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2+(-1)^{n}}{2^{n}}}$.

Aufgabe

Zeige ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-1}}={\frac {1}{2}}$.

Aufgabe

Ist das Cauchy-Produkt ${}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {y^{j}}{j!}}\right)$ konvergent? Berechne das Cauchyprodukt explizit!

Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:

1. ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+3}{n^{3}-n^{2}-n+2}}$,
2. ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+{\sqrt {n}}}{n^{2}-{\sqrt {n}}+1}}$,
3. ${}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}({\sqrt {n}}-{\sqrt {n-1}})$.

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die folgenden beiden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:

1. ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{3^{n}}}$,
2. ${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cdot n}{n^{2}+1}}$.

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