Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 6/latex
\setcounter{section}{W6}
\zwischenueberschrift{Anwesenheitsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Ist das Cauchy-Produkt
\mathl{\left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k} {k !} \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{\infty} \frac{y^j} {j!} \right)}{} konvergent? Berechne das Cauchyprodukt explizit!
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Funktion
\maabbele {f} {\R } { \R
} {x } { \frac{x-1}{x^2+1}
} {,}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \defeq }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die folgenden beiden Funktionen
\maabb {f_1,f_2} {\R} {\R
} {}
definiert durch
\mathdisp {f_1(x):= \begin{cases} \sin \frac{1} {x} \text{ falls } x \neq 0 \\
0 \text{ falls } x = 0 \end{cases}} { }
und
\mathdisp {f_2(x):= \begin{cases} x \sin \frac{1} {x} \text{ falls } x \neq 0 \\
0 \text{ falls } x = 0 \end{cases}} { }
auf Stetigkeit im Punkt
\mathl{x_0=0}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein metrischer Raum und
\mathl{X \subseteq M}{} eine Teilmenge. Wir definieren
die Funktion
\maabbele {f} {M } {\R
} {x } { d(x,X)
} {,}
wobei
\mathl{d(x,X):= \inf \{d(x,y): y \in X \}}{.} Zeige, dass $f$ Lipschitz-stetig mit Konstante $1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Teilmenge von $\R$ und $\epsilon >0$. Wir definieren $T_{\epsilon}(M):=\{x \in \R: \betrag { x-a }> \epsilon \text{ für alle } a \in M \}$. Zeige die folgenden Aussagen: \aufzaehlungdrei{Falls $M$ offen ist, so ist $T_{\epsilon}(M)$ abgeschlossen. }{Falls $M$ abgeschlossen ist, so ist $T_{\epsilon}(M)$ offen. }{Die Umkehrungen der ersten beiden Aussagen sind falsch. }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $A := \{ z \in {\mathbb C} : \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } \geq ( \operatorname{Re} \, { \left( z \right) })^2 +1 \} \subset {\mathbb C}$. Zeige die folgende Aussage: Sind $z_1, z_2 \in A$ und ist $\lambda \in [0,1]$, so ist auch $\lambda z_1 + (1- \lambda) z_2 \in A$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die charakteristische Funktion
\maabb {\chi_{\Q}} {\R } { \R
} {}
mit
\mathl{\chi_{\Q}(x):=1}{,} falls
\mathl{x \in \Q}{} und
\mathl{\chi_{\Q}(x):=0}{,} sonst,
in jedem Punkt
\mathl{x_0 \in \R}{} unstetig ist.
}
{} {}