Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 6

Anwesenheitsaufgaben

Aufgabe

Ist das Cauchy-Produkt ${}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {y^{j}}{j!}}\right)$ konvergent? Berechne das Cauchyprodukt explizit!

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto {\frac {x-1}{x^{2}+1}}$, im Punkt ${}x_{0}:=-1$ stetig ist.

Aufgabe

Untersuche die folgenden beiden Funktionen ${}f_{1},f_{2}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ definiert durch

$f_{1}(x):={\begin{cases}\sin {\frac {1}{x}}{\text{ falls }}x\neq 0\\0{\text{ falls }}x=0\end{cases}}$

und

$f_{2}(x):={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ falls }}x\neq 0\\0{\text{ falls }}x=0\end{cases}}$

auf Stetigkeit im Punkt ${}x_{0}=0$.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}X\subseteq M$ eine Teilmenge. Wir definieren die Funktion ${}f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto d(x,X)$, wobei ${}d(x,X):=\inf\{d(x,y):y\in X\}$. Zeige, dass ${}f$ Lipschitz-stetig mit Konstante ${}1$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Teilmenge von ${}\mathbb {R}$ und ${}\epsilon >0$. Wir definieren ${}T_{\epsilon }(M):=\{x\in \mathbb {R} :\vert {x-a}\vert >\epsilon {\text{ für alle }}a\in M\}$. Zeige die folgenden Aussagen:

1. Falls ${}M$ offen ist, so ist ${}T_{\epsilon }(M)$ abgeschlossen.
2. Falls ${}M$ abgeschlossen ist, so ist ${}T_{\epsilon }(M)$ offen.
3. Die Umkehrungen der ersten beiden Aussagen sind falsch.

Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}A:=\{z\in {\mathbb {C} }:\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\geq (\operatorname {Re} \,{\left(z\right)})^{2}+1\}\subset {\mathbb {C} }$. Zeige die folgende Aussage: Sind ${}z_{1},z_{2}\in A$ und ist ${}\lambda \in [0,1]$, so ist auch ${}\lambda z_{1}+(1-\lambda )z_{2}\in A$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die charakteristische Funktion ${}\chi _{\mathbb {Q} }\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit ${}\chi _{\mathbb {Q} }(x):=1$, falls ${}x\in \mathbb {Q}$ und ${}\chi _{\mathbb {Q} }(x):=0$, sonst, in jedem Punkt ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ unstetig ist.

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