Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{W7}
\zwischenueberschrift{Anwesenheitsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Teilmenge von $\R$ und $\epsilon >0$. Wir definieren $T_{\epsilon}(M):=\{x \in \R: \betrag { x-a }> \epsilon \text{ für alle } a \in M \}$. Zeige die folgenden Aussagen: \aufzaehlungdrei{Falls $M$ offen ist, so ist $T_{\epsilon}(M)$ abgeschlossen. }{Falls $M$ abgeschlossen ist, so ist $T_{\epsilon}(M)$ offen. }{Die Umkehrungen der ersten beiden Aussagen sind falsch. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Funktion \maabbele {} {\R_+} { \R } {x} { \sqrt{x} } {,} gleichmäßig stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein metrischer Raum und
\mathl{X \subseteq M}{} eine Teilmenge. Wir definieren
die Funktion
\maabbele {f} {M } {\R
} {x } { d(x,X)
} {,}
wobei
\mathl{d(x,X):= \inf \{d(x,y): y \in X \}}{.} Zeige, dass $f$ Lipschitz-stetig mit Konstante $1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {[a,b]} {\R
} {}
eine stetige Funktion mit der Eigenschaft
\mathl{f([a,b]) \subset [a,b]}{.} Zeige, dass $f$ mindestens einen Fixpunkt besitzt, d.h., es gibt ein
\mathl{x \in [a,b]}{} mit
\mathl{f(x)=x}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mathl{\sin x}{} auf ganz $\R$ gleichmäßig stetig ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Funktion \maabbele {} {\R_+} {\R } {x} {x^2 } {} nicht gleichmäßig stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabb {f,g} { [a,b]} { \R
} {}
zwei stetige Funktionen mit der Eigenschaft, dass
\mathl{f(a)>g(a)}{} und
\mathl{f(b) <g(b)}{} gilt.
Zeige, dass es ein
\mathl{x \in [a,b]}{} gibt mit
\mathl{f(x)=g(x)}{.}
}
{} {}