Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 7

Anwesenheitsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Teilmenge von ${}\mathbb {R}$ und ${}\epsilon >0$. Wir definieren ${}T_{\epsilon }(M):=\{x\in \mathbb {R} :\vert {x-a}\vert >\epsilon {\text{ für alle }}a\in M\}$. Zeige die folgenden Aussagen:

1. Falls ${}M$ offen ist, so ist ${}T_{\epsilon }(M)$ abgeschlossen.
2. Falls ${}M$ abgeschlossen ist, so ist ${}T_{\epsilon }(M)$ offen.
3. Die Umkehrungen der ersten beiden Aussagen sind falsch.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion ${}\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto {\sqrt {x}}$, gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}X\subseteq M$ eine Teilmenge. Wir definieren die Funktion ${}f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto d(x,X)$, wobei ${}d(x,X):=\inf\{d(x,y):y\in X\}$. Zeige, dass ${}f$ Lipschitz-stetig mit Konstante ${}1$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit der Eigenschaft ${}f([a,b])\subset [a,b]$. Zeige, dass ${}f$ mindestens einen Fixpunkt besitzt, d.h., es gibt ein ${}x\in [a,b]$ mit ${}f(x)=x$.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\sin x$ auf ganz ${}\mathbb {R}$ gleichmäßig stetig ist.

Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Funktion ${}\mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto x^{2}$ nicht gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}f,g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ zwei stetige Funktionen mit der Eigenschaft, dass ${}f(a)>g(a)$ und ${}f(b)<g(b)$ gilt. Zeige, dass es ein ${}x\in [a,b]$ gibt mit ${}f(x)=g(x)$.

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