Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 8

Anwesenheitsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R}$ eine Umgebung der ${}0$ und ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion mit der Eigenschaft, dass ${}\vert {f(x)}\vert \,\leq \,\vert {x}\vert ^{a}$ mit einem ${}a>1$ gilt. Zeige, dass ${}f$ in ${}x_{0}=0$ differenzierbar ist und berechne den Wert der Ableitung an dieser Stelle.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ gegeben durch

$f(x):={\begin{cases}0{\text{, falls }}x=0\\x^{2}\cos {\frac {1}{x}}{\text{, falls }}x\neq 0\end{cases}}$

auf ganz ${}\mathbb {R}$ differenzierbar ist und berechne die Ableitung. Ist diese stetig?

Aufgabe

Untersuche die Funktion ${}g\colon ]0,\infty [\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x\longmapsto x^{x}$, auf Differenzierbarkeit und bestimme (falls möglich) die Ableitung und die lokalen Extrema von ${}g$.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x+e^{x},$

bijektiv ist und berechne ${}(f^{-1})^{\prime }(1)$.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {\ln x}{x-1}}$.

Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die Funktion ${}f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x\cdot \vert {x}\vert$ auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Bestimme (falls möglich) die Ableitung.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die lokalen Extrema der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (x^{3}-4x^{2}+8x-8)\cdot e^{x}.$

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