Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 9/latex
\setcounter{section}{W9}
\zwischenueberschrift{Anwesenheitsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe, ob die folgenden Teilmengen des $\R^2$
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
sind:
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_1
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x+2y = 0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_2
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x \geq y \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_3
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y = x+1 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_4
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid xy = 0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Gegeben seien die beiden Untervektorräume
\mathdisp {V_1= \langle (1,1,2,1)^t,(0,-2,1,0)^t,(1,-1,3,1)^t \rangle \text{ und } V_2= \langle (3,1,7,3)^t,(-3,2,-5,-1)^t,(0,3,2,2)^t \rangle} { }
des $\R^4$. Bestimme jeweils eine Basis und die Dimension von
\mathl{V_1, V_2}{} und
\mathl{V_1 \cap V_2}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe, ob die folgenden Abbildungen $\R$-linear sind: \aufzaehlungfuenf{ \maabbele {f_1} { \R^2 } { \R^2 } {(x,y)^t} {(x+y,x-y)^t } {,} }{ \maabbele {f_2} {\R } {\R } {x} {2x+1 } {,} }{ \maabbele {f_3} {C[0,1]} {\R } {\varphi} { \int_0^1 \varphi(t) dt } {,} }{ \maabbele {f_4} { \R^2} {\R } {(x,y)^t} {xy } {,} }{ \maabbele {f_5} { {\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \overline{ z } } {.} } Ist $f_5$ ${\mathbb C}$-linear?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Bild}{}{} und den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^4} {\R^4 } {\begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ x_3\\x_4 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & 7 & -1 \\ -1 & 2 & 3 & -2 \\ -2 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ x_3\\x_4 \end{pmatrix} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabb {f} {V } {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{
\mathl{\operatorname{kern} f = \operatorname{kern} { \left( f \circ f \right) }}{}
}{
\mathl{\operatorname{kern} f \cap \operatorname{bild} f = \{0\}}{}
}{
\mathl{V=\operatorname{kern} f \oplus \operatorname{bild} f}{}
}{
\mathl{\operatorname{bild} f= \operatorname{bild} { \left( f \circ f \right) }}{.}
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)}
\inputaufgabe
{}
{
Sind die reellen Zahlen $1,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3}$ \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} über $\Q$ ?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{e_1, e_2, e_3, e_4}{} die Standardbasisvektoren des $\R^4$ und die lineare Abbildung
\maabb {f} {\R^4 } {\R^4
} {}
sei gegeben durch
\mathdisp {f(e_1) = \begin{pmatrix} -2 \\2\\ 0\\1 \end{pmatrix}, f(e_2) =\begin{pmatrix} -7 \\4\\ 1\\2 \end{pmatrix}, f(e_3) = \begin{pmatrix} -4 \\4\\ 0\\2 \end{pmatrix}, f(e_4) = \begin{pmatrix} 10 \\-4\\ -2\\-2 \end{pmatrix}} { . }
Bestimme jeweils eine Basis von
\mathl{\operatorname{kern} f}{,}
\mathl{\operatorname{bild} f}{} und
\mathl{\operatorname{kern} f \cap \operatorname{bild} f}{.}
}
{} {}