Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 1/latex
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring $R$
\aufzaehlungsechs{Für jedes Element $a$ gilt
\mathl{1 | a}{} und
\mathl{a | a}{.}
}{Für jedes Element $a$ gilt
\mathl{a | 0}{.}
}{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{b | c}{,} so gilt auch
\mathl{a | c}{.}
}{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{c | d}{,} so gilt auch
\mathl{ac | bd}{.}
}{Gilt
\mathl{a | b}{,} so gilt auch
\mathl{ac | bc}{} für jedes
\mathl{c \in R}{.}
}{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{a | c}{,} so gilt auch
\mathl{a | rb+sc}{} für beliebige Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r,s
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.
\aufzaehlungvier{$-1$ ist eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{,}
die zu sich selbst invers ist.
}{Jede Einheit teilt jedes Element.
}{Sind $a$ und $b$ assoziiert, so gilt
\mathl{a | c}{} genau dann, wenn $b | c$.
}{Teilt $a$ eine Einheit, so ist $a$ selbst eine Einheit.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (2+2+2)}
{
Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeiche $T(n)$ die Anzahl der positiven Teiler von $n$. Zeige die folgenden Aussagen über $T(n)$.
a) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{}
von $n$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T(n)
}
{ =} {(r_1+1) (r_2+1) \cdots (r_k+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Für teilerfremde Zahlen $n$ und $m$ gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T(nm)
}
{ = }{T(n)T(m)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
c) Bestimme die Anzahl der Teiler von $20!$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Finde einen
\definitionsverweis {Primfaktor}{}{}
der Zahl
\mathl{2^{25}-1}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{f \in R}{.} Zeige, dass die Multiplikation mit $f$, also die Abbildung
\maabbeledisp {\mu_f} {R} {R
} {x} {fx
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
von
\mathl{(R,+,0)}{} ist. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung, wann $f$ ein
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
und wann $f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}