Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 1

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Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Assoziiertheit in einem kommutativen Ring eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring :

  1. Für jedes Element gilt und .
  2. Für jedes Element gilt .
  3. Gilt und , so gilt auch .
  4. Gilt und , so gilt auch .
  5. Gilt , so gilt auch für jedes .
  6. Gilt und , so gilt auch für beliebige Elemente .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass in einem kommutativen Ring folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

  1. ist eine Einheit, die zu sich selbst invers ist.
  2. Jede Einheit teilt jedes Element.
  3. Sind und assoziiert, so gilt genau dann, wenn .
  4. Teilt eine Einheit, so ist selbst eine Einheit.


Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Zu einer natürlichen Zahl bezeiche die Anzahl der positiven Teiler von . Zeige die folgenden Aussagen über .

a) Sei die Primfaktorzerlegung von . Dann ist

b) Für teilerfremde Zahlen und gilt .

c) Bestimme die Anzahl der Teiler von .


Aufgabe (2 Punkte)

Finde einen Primfaktor der Zahl .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und . Zeige, dass die Multiplikation mit , also die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus von ist. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung, wann ein Nichtnullteiler und wann eine Einheit ist.