Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 1

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Assoziiertheit in einem kommutativen Ring eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring ${}R$:

1. Für jedes Element ${}a$ gilt ${}1|a$ und ${}a|a$.
2. Für jedes Element ${}a$ gilt ${}a|0$.
3. Gilt ${}a|b$ und ${}b|c$, so gilt auch ${}a|c$.
4. Gilt ${}a|b$ und ${}c|d$, so gilt auch ${}ac|bd$.
5. Gilt ${}a|b$, so gilt auch ${}ac|bc$ für jedes ${}c\in R$.
6. Gilt ${}a|b$ und ${}a|c$, so gilt auch ${}a|rb+sc$ für beliebige Elemente ${}r,s\in R$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass in einem kommutativen Ring ${}R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

1. ${}-1$ ist eine Einheit, die zu sich selbst invers ist.
2. Jede Einheit teilt jedes Element.
3. Sind ${}a$ und ${}b$ assoziiert, so gilt ${}a|c$ genau dann, wenn ${}b|c$.
4. Teilt ${}a$ eine Einheit, so ist ${}a$ selbst eine Einheit.

Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeiche ${}T(n)$ die Anzahl der positiven Teiler von ${}n$. Zeige die folgenden Aussagen über ${}T(n)$.

a) Sei ${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ die Primfaktorzerlegung von ${}n$. Dann ist

${}T(n)=(r_{1}+1)(r_{2}+1)\cdots (r_{k}+1)\,.$

b) Für teilerfremde Zahlen ${}n$ und ${}m$ gilt ${}T(nm)=T(n)T(m)$.

c) Bestimme die Anzahl der Teiler von ${}20!$.

Aufgabe (2 Punkte)

Finde einen Primfaktor der Zahl ${}2^{25}-1$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$. Zeige, dass die Multiplikation mit ${}f$, also die Abbildung

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,x\longmapsto fx,$

ein Gruppenhomomorphismus von ${}(R,+,0)$ ist. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung, wann ${}f$ ein Nichtnullteiler und wann ${}f$ eine Einheit ist.