Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 10/latex
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien $x$ und $y$ ungerade. Zeige, dass
\mathl{x^2+y ^2}{} keine Quadratzahl ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Zeige, dass die quadratische Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2-5y^2
}
{ =} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
keine ganzzahlige Lösung besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige: In
\mathl{\Z/(p)}{,} wobei $p$ eine Primzahl ist, lässt sich jedes Element als Summe von zwei Quadraten schreiben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme in
\mathl{\Z/(11)}{} alle Lösungen
\mathl{(x,y)}{} der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in
\mathl{\Z/(7)}{} alle Lösungen
\mathl{(x,y)}{} der diophantischen quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x^2+2y^2+5xy+4x+8y+6
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Wie viele Lösungen hat die Gleichung
\mathdisp {x^5=a} { }
in
\mathl{\Z/(19)}{} für ein gegebenes
\mathl{a \in \Z/(19)}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Skizziere ein Dreieck $D$ derart, dass eine Höhe das Dreieck $D$ in zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke $D_1$ und $D_2$ unterteilt so, dass die Seitenlängen von $D_1$ und $D_2$ jeweils pythagoreische Tripel bilden. Man gebe die Seitenlängen an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{bis 2}
{
Ergänze die Tabelle
Pythagoreische Tripel/Parametrische Charakterisierung/z bis 100/Tabelle
um alle pythagoreischen Tripel
\mathl{(x,y,z)}{} mit
\mathl{z \leq 100}{.} Dabei sollen $u$ und $v$
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
sein und nicht beide ungerade. Die Tabelle soll nach der Größe von $z$ geordnet sein.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige: Um
den Satz von Wiles
für alle Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu zeigen, genügt es, ihn für alle ungeraden Primzahlen als Exponenten zu beweisen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige unter Verwendung
des Satzes von Wiles,
dass die diophantische Gleichung
\mathdisp {x^n+y^n+z^n =0} { }
für
\mathl{n \geq 2}{} keine von
\mathl{(0,0,0)}{} verschiedene Lösung besitzt.
}
{} {}