Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 13/latex
\inputaufgabe
{3}
{
Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen
\mathdisp {2^{33}-1, \, 2^{91}-1, \, 2^{13}+1} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Eine natürliche Zahl $n$ ist genau dann
\definitionsverweis {vollkommen}{}{,}
wenn die Stammbruchsummenbedingung
\mathdisp {\sum_{d{{|}} n,\, d \neq 1} \frac{1}{d} = 1} { }
gilt. Schreibe für einige vollkommene Zahlen die Stammbruchsumme hin.
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben werden einige Begriffe verwendet, die mit dem Begriff der vollkommenen Zahl in Verbindung stehen.
Eine natürliche Zahl $n$ heißt \stichwort {defizient} {,} wenn die Summe der Teiler kleiner als $2n$ ist.
Eine natürliche Zahl $n$ heißt \definitionswort {abundant}{,} wenn die Summe der Teiler größer als $2n$ ist.
Eine natürliche \definitionsverweis {abundante Zahl}{}{} heißt \definitionswort {sonderbar}{,} wenn sie nicht als eine Teilsumme von ihren echten Teilern darstellbar ist.
\inputaufgabe
{1}
{
Zeige: eine Primzahlpotenz $p^r$ ist \definitionsverweis {defizient}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $n >6$ ein Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen. Zeige, dass dann $n$ \definitionsverweis {defizient}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $n$ eine ungerade Zahl mit der Eigenschaft, dass in ihrer Primfaktorzerlegung nur zwei verschiedene Primfaktoren vorkommen. Zeige, dass dann $n$ \definitionsverweis {defizient}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Finde eine ungerade \definitionsverweis {abundante}{}{} Zahl $n$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Finde die kleinste \definitionsverweis {sonderbare Zahl}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass der Quotient
\mathdisp {\frac{\sigma(n)}{n}} { }
unbeschränkt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige ohne Verwendung der Regel von Thabit, dass die beiden Zahlen
\mathl{220}{} und
\mathl{284}{}
\definitionsverweis {befreundet}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Ergänze die folgende \definitionsverweis {Tabelle}{}{} um weitere Zeilen.
%Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $a = 3 \cdot 2^{k-1} -1$ }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{
\mathl{b= 3 \cdot 2^k -1}{} }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{
\mathl{c =9 \cdot 2^{2k-1} -1}{} }
\renewcommand{\leitzeilevier}{
\mathl{m =2^k ab}{} }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{
\mathl{n =2^k c}{} }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ $k$ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ $2$ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $3$ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $4$ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ $5$ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ $6$ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ $7$ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ 5 }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ 11 }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ 71 }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ 220 }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ 284 }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ 11 }
\renewcommand{\azweixzwei}{ 23 }
\renewcommand{\azweixdrei}{ 287 = 7 \cdot 41 \text{ (nicht prim)} }
\renewcommand{\azweixvier}{ \, }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ \, }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ 23 }
\renewcommand{\adreixzwei}{ 47 }
\renewcommand{\adreixdrei}{ 1151 }
\renewcommand{\adreixvier}{ 17296 }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ 18416 }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ 47 }
\renewcommand{\avierxzwei}{ 95 }
\renewcommand{\avierxdrei}{ 4607 = 17 \cdot 271 \text{ (nicht prim)} }
\renewcommand{\avierxvier}{ \, }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ \, }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ 95=5 \cdot 19 \text{ (nicht prim)} }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ 191 }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ 18431 = 7 \cdot 2633 \text{ (nicht prim)} }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ \, }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ \, }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ 191 }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ 383 }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ 73727 }
\renewcommand{\asechsxvier}{ 9363584 }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ 9437056 }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitsechsxfuenf
}
{} {}