Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 15/latex
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $K$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $A$ eine kommutative $K$-Algebra, die außerdem ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} sei. Es sei
\mathl{f \in A}{} ein über $K$
\definitionsverweis {algebraisches Element}{}{.} Es sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein normiertes Polynom mit
\mathl{P(f) =0}{.} Dann ist $P$ das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} von $f$ genau dann, wenn es
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass es nur \definitionsverweis {abzählbar}{}{} viele \definitionsverweis {algebraische Zahlen}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{8}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathdisp {L=\Q[X]/ { \left( X^3-p \right) }} { }
der durch das irreduzible Polynom
\mathl{X^3-p}{} definierte Erweiterungskörper von $\Q$. Es sei
\mathdisp {f=2+3x-4x^2} { . }
\aufzaehlungfuenf{Finde die Matrix bezüglich der $\Q$-Basis
\mathl{1,x,x^2}{} von $L$ der durch die Multiplikation mit $f$ definierten $\Q$-linearen Abbildung.
}{Berechne die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
und die Spur von $f$.
}{Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $f$.
}{Finde das Inverse von $f$.
}{Berechne die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
der Basis
\mathl{1,f,f^2}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ X^n-c
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a_{n-1} X^{n-1} + a_{n-2}X^{n-2} + \cdots + a_1X+ a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Element in der
\definitionsverweis {einfachen}{}{}
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ = }{ K[X]/(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $n$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
von $f$ gleich $na_0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein endlicher Körper und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige direkt, dass für diese Körpererweiterung der Satz vom primitiven Element gilt.
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe werden verschiedene äquivalente Bedingungen an ein Polynom gestellt, die man alle als Definition eines separablen Polynoms nehmen kann. Man darf verwenden, dass es zu jedem Körper einen Erweiterungskörper gibt, in dem ein vorgegebenes Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein Körper und sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein Polynom vom Grad $n$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
\aufzaehlungvier{$F$ und die (formale) Ableitung $F'$ sind teilerfremd.
}{ $F$ und die (formale) Ableitung $F'$ erzeugen das Einheitsideal.
}{ $F$ besitzt in keinem Erweiterungskörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
mehrfache Nullstellen.
}{ Es gibt einen Erweiterungskörper
\mathl{K \subseteq L}{,} so dass $F$ als Polynom in
\mathl{L[X]}{} in $n$ verschiedene Linearfaktoren zerfällt.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein Körper und sei $F \in K[X]$ ein irreduzibles Polynom. Man gebe eine einfache Charakterisierung dafür, dass $F$ \definitionsverweis {separabel}{}{} ist.
Zeige, dass in Charakteristik null jedes irreduzible Polynom separabel ist.
Man gebe ein Beispiel, dass das in positiver Charakteristik nicht immer stimmen muss.
}
{} {}