Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 15

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Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass jedes Element algebraisch über ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und eine kommutative -Algebra, die außerdem ein Integritätsbereich sei. Es sei ein über algebraisches Element. Sei ein normiertes Polynom mit . Dann ist das Minimalpolynom von genau dann, wenn es irreduzibel ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es nur abzählbar viele algebraische Zahlen gibt.


Aufgabe (8 Punkte)

Sei eine Primzahl und sei

der durch das irreduzible Polynom definierte Erweiterungskörper von . Es sei

  1. Finde die Matrix bezüglich der -Basis von der durch die Multiplikation mit definierten -linearen Abbildung.
  2. Berechne die Norm und die Spur von .
  3. Bestimme das Minimalpolynom von .
  4. Finde das Inverse von .
  5. Berechne die Diskriminante der Basis .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und sei ein irreduzibles Polynom. Es sei

ein Element in der einfachen endlichen Körpererweiterung vom Grad . Zeige, dass die Spur von gleich ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein endlicher Körper und eine endliche Körpererweiterung. Zeige direkt, dass für diese Körpererweiterung der Satz vom primitiven Element gilt.


In der folgenden Aufgabe werden verschiedene äquivalente Bedingungen an ein Polynom gestellt, die man alle als Definition eines separablen Polynoms nehmen kann. Man darf verwenden, dass es zu jedem Körper einen Erweiterungskörper gibt, in dem ein vorgegebenes Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei ein Polynom vom Grad . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

  1. und die (formale) Ableitung sind teilerfremd.
  2. und die (formale) Ableitung erzeugen das Einheitsideal.
  3. besitzt in keinem Erweiterungskörper mehrfache Nullstellen.
  4. Es gibt einen Erweiterungskörper , so dass als Polynom in in verschiedene Linearfaktoren zerfällt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und sei ein irreduzibles Polynom. Man gebe eine einfache Charakterisierung dafür, dass separabel ist.

Zeige, dass in Charakteristik null jedes irreduzible Polynom separabel ist.

Man gebe ein Beispiel, dass das in positiver Charakteristik nicht immer stimmen muss.