Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 16/latex
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien $R$ und $A$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{.}
Zeige, dass $A$ genau dann eine
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
ist, wenn $A$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
ist, für den zusätzlich
\mathdisp {r (ab) =(ra)b \text{ für alle } r \in R,\, a,b \in A} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ auf genau eine Weise die Struktur eines $\Z$-\definitionsverweis {Moduls}{}{} trägt. Kommutative Gruppen und $\Z$-Moduln sind also äquivalente Objekte.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{(G,+,0)}{} eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Sei
\mathdisp {E:= \operatorname{End} (G) = \operatorname{Hom} (G,G)} { }
die Menge der Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $G$ (also die Gruppenendomorphismen auf $G$). Definiere auf $E$ eine Addition und eine Multiplikation, so dass $E$ zu einem (in der Regel nicht kommutativen) Ring wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{(M,+,0)}{} eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und sei
\mathl{E= \operatorname{End}_{\mathbb Z} (M)}{} der zugehörige Endomorphismenring. Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige, dass eine $R$-Modulstruktur auf $M$ äquivalent ist zu einem Ringhomomorphismus
\mathl{R\rightarrow \operatorname{End}_{\mathbb Z} (M)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte die rationalen Zahlen
\mathl{(\mathbb Q, +, 0)}{} als
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte die rationalen Zahlen
\mathl{(\mathbb Q, +, 0)}{} als
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Es sei
\mathl{G \subseteq \mathbb Q}{} eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass $G$
\definitionsverweis {zyklisch}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $K$ ein Körper mit
\mathl{R \subseteq K}{.} Zeige, dass dann auch
\mathl{Q(R) \subseteq K}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}
Es sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak p} )}{} ein Primideal in $R$ ist.
Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines \definitionsverweis {maximalen Ideales}{}{} kein maximales Ideal sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{\mathfrak{a} \neq R}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Zeige:
\mathl{\mathfrak{a}}{} ist genau dann ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{,}
wenn es zu jedem
\mathbed {g \in R} {}
{g \not\in \mathfrak a} {}
{} {} {} {,}
ein
\mathl{f \in \mathfrak a}{} und ein
\mathl{r \in R}{} gibt mit
\mathl{rg+f=1}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { R/{\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die ${\mathfrak a}$ umfassen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} eines \definitionsverweis {Hauptidealringes}{}{} wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines \definitionsverweis {Hauptidealbereiches}{}{} kein Hauptidealbereich sein muss.
}
{} {}