Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 16

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Aufgabe (3 Punkte)

Seien und kommutative Ringe. Zeige, dass genau dann eine -Algebra ist, wenn ein -Modul ist, für den zusätzlich

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine kommutative Gruppe. Zeige, dass auf genau eine Weise die Struktur eines -Moduls trägt. Kommutative Gruppen und -Moduln sind also äquivalente Objekte.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine kommutative Gruppe. Sei

die Menge der Gruppenhomomorphismen von nach (also die Gruppenendomorphismen auf ). Definiere auf eine Addition und eine Multiplikation, so dass zu einem (in der Regel nicht kommutativen) Ring wird.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine kommutative Gruppe und sei der zugehörige Endomorphismenring. Sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass eine -Modulstruktur auf äquivalent ist zu einem Ringhomomorphismus .


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die rationalen Zahlen als kommutative Gruppe. Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die rationalen Zahlen als kommutative Gruppe. Es sei eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass zyklisch ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich und ein Körper mit . Zeige, dass dann auch gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Seien und kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Sei ein Primideal in . Zeige, dass das Urbild ein Primideal in ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal in . Zeige: ist genau dann ein maximales Ideal, wenn es zu jedem , , ein und ein gibt mit .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zeige, dass die Ideale von eindeutig denjenigen Idealen von entsprechen, die umfassen.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass jeder Restklassenring eines Hauptidealringes wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines Hauptidealbereiches kein Hauptidealbereich sein muss.