Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 16

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $R$ und $A$ kommutative Ringe. Zeige, dass $A$ genau dann eine $R$-Algebra ist, wenn $A$ ein $R$-Modul ist, für den zusätzlich

$r(ab)=(ra)b\text{ für alle }r\in R,a,b\in A$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $G$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass $G$ auf genau eine Weise die Struktur eines $\mathbb{Z}$-Moduls trägt. Kommutative Gruppen und $\mathbb{Z}$-Moduln sind also äquivalente Objekte.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $(G,+,0)$ eine kommutative Gruppe. Es sei

$E:=\mathrm{End}(G)=\mathrm{Hom}(G,G)$

die Menge der Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $G$ (also die Gruppenendomorphismen auf $G$). Definiere auf $E$ eine Addition und eine Multiplikation derart, dass $E$ zu einem (in der Regel nicht kommutativen) Ring wird.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $(M,+,0)$ eine kommutative Gruppe und sei  $E={\mathrm{End}}_{\mathbb{Z}}(M)$  der zugehörige Endomorphismenring. Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass eine $R$-Modulstruktur auf $M$ äquivalent ist zu einem Ringhomomorphismus $R\to {\mathrm{End}}_{\mathbb{Z}}(M)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die rationalen Zahlen $(\mathbb{Q},+,0)$ als kommutative Gruppe. Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Betrachte die rationalen Zahlen $(\mathbb{Q},+,0)$ als kommutative Gruppe. Es sei  $G\subseteq \mathbb{Q}$  eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass $G$ zyklisch ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $K$ ein Körper mit  $R\subseteq K$.  Zeige, dass dann auch  $Q(R)\subseteq K$  gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei $\phi :R\to S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei $𝔭$ ein Primideal in $S$. Zeige, dass das Urbild ${\phi }^{-1}(𝔭)$ ein Primideal in $R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei  $𝔞\ne R$  ein Ideal in $R$. Zeige: $𝔞$ ist genau dann ein maximales Ideal, wenn es zu jedem $g\in R$, $g\in ̸𝔞$, ein  $f\in 𝔞$  und ein  $r\in R$  mit  $rg+f=1$  gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $𝔞$ ein Ideal mit dem Restklassenring

$S=R/𝔞.$

Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die $𝔞$ umfassen.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass jeder Restklassenring eines Hauptidealringes wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines Hauptidealbereiches kein Hauptidealbereich sein muss.