Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 18/latex
In den drei folgenden Aufgaben wird der Begriff des primitiven Polynoms verwendet:
Ein Polynom
\mathl{F \in \Z[X]}{} heißt
\definitionswort {primitiv}{,} wenn die Koeffizienten von $F$ teilerfremd sind.
\inputaufgabe
{1}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{\Z[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom. Zeige, dass man $F$ als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{n \tilde{F}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und primitivem $\tilde{F}$ schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathl{F,G \in \Z[X]}{}
\definitionsverweis {primitive Polynome}{}{.} Zeige, dass dann auch das Produkt $FG$ primitiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{\Z[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.}
Dann ist $F$, aufgefasst als Polynom in $\Q[X]$, ebenfalls irreduzibel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für das von $f$ erzeugte
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R \cap (f)S
}
{ =} { (f)R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[X]/(X^4+X^3+X^2+X+1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die Primideale in $R$, die über den Primzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{ 2,3,5,7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $p$ eine Primzahl. Betrachte die
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {L
}
{ =} {\Q [X]/(X^3-p)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vom Grad $3$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{aX^2+bX+c
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element davon mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne das Minimalpolynom von $f$ und man gebe die Koeffizienten davon explizit an. Bestimme insbesondere die Norm und die Spur von $f$.
Welche Bedingungen an
\mathl{a,b,c}{} ergeben sich aus der Voraussetzung, dass $f$ ganz über $\Z$ ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} und seien $\mathfrak p$ und $\mathfrak q$ verschiedene \definitionsverweis {Primideale}{}{} $\neq 0$. Dann gibt es einen \definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {R/\mathfrak p \cap \mathfrak q } { R/{\mathfrak p} \times R/{\mathfrak q} } {.}
}
{} {}
Die folgende Aufgabe benutzt das Produkt von Idealen.
Zu zwei
\definitionsverweis {Idealen}{}{}
${\mathfrak a}$ und ${\mathfrak b}$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
wird das
\definitionswort {Produkt}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}{\mathfrak b}
}
{ =} { \{a_1b_1 +a_2b_2 + \cdots + a_kb_k\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{a_i \in {\mathfrak a}}{,}
\mathl{b_i \in {\mathfrak b}}{} definiert. Das ist das Ideal, das von allen Produkten $ab$
\zusatzklammer {mit
\mathl{a \in {\mathfrak a}}{,}
\mathl{b \in {\mathfrak b}}{}} {} {}
erzeugt wird.
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
und seien $\mathfrak p$ und $\mathfrak q$ zwei verschiedene
\definitionsverweis {Primideale}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathfrak p \cap \mathfrak q
}
{ =} { {\mathfrak p} \cdot {\mathfrak q}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{,} wo jeder Restklassenring $\neq 0$ unendlich ist, und für einen Dedekindbereich, der einen \definitionsverweis {Körper}{}{} enthält und wo alle echten Restklassenringe endlich sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige: Ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
$R$ ist genau dann
\definitionsverweis {noethersch}{}{,}
wenn es in $R$ keine unendliche echt aufsteigende Idealkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_1
}
{ \subset} { {\mathfrak a}_2
}
{ \subset} { {\mathfrak a}_3
}
{ \subset} { \ldots
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}