Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 18

In den drei folgenden Aufgaben wird der Begriff des primitiven Polynoms verwendet:

Ein Polynom $F \in ℤ [X]$ heißt primitiv, wenn die Koeffizienten von $F$ teilerfremd sind.

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei $F \in ℤ [X]$ ein Polynom. Zeige, dass man $F$ als $F = n \tilde{F}$ mit $n \in ℕ$ und primitivem $\tilde{F}$ schreiben kann.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $F, G \in ℤ [X]$ primitive Polynome. Zeige, dass dann auch das Produkt $F G$ primitiv ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $F \in ℤ [X]$ ein irreduzibles Polynom. Dann ist $F$ , aufgefasst als Polynom in $ℚ [X]$ , ebenfalls irreduzibel.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und $R \subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Es sei $f \in R$ . Zeige, dass für das von $f$ erzeugte Hauptideal gilt:

R \cap (f) S = (f) R .

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $R = ℤ [X] / (X^{4} + X^{3} + X^{2} + X + 1)$ . Bestimme die Primideale in $R$ , die über den Primzahlen $p = 2, 3, 5, 7$ liegen.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl. Wir betrachten die endliche Körpererweiterung

ℚ \subseteq L = ℚ [X] / (X^{3} - p)

vom Grad $3$ . Es sei $f = a X^{2} + b X + c \in L$ ein Element davon mit $a, b, c \in ℚ$ . Berechne das Minimalpolynom von $f$ und gib die Koeffizienten davon explizit an. Bestimme insbesondere die Norm und die Spur von $f$ .

Welche Bedingungen an $a, b, c$ ergeben sich aus der Voraussetzung, dass $f$ ganz über $ℤ$ ist?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und seien $𝔭$ und $𝔮$ verschiedene Primideale $\neq 0$ . Dann gibt es einen Ringisomorphismus

R / 𝔭 \cap 𝔮 ⟶ R / 𝔭 \times R / 𝔮 .

Die folgende Aufgabe benutzt das Produkt von Idealen.

Zu zwei Idealen $𝔞$ und $𝔟$ in einem kommutativen Ring wird das Produkt durch

𝔞 𝔟 = {a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{k} b_{k} ∣ a_{i} \in 𝔞, b_{i} \in 𝔟}

definiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $R$ ein Dedekindbereich und seien $𝔭$ und $𝔮$ zwei verschiedene Primideale. Dann ist

𝔭 \cap 𝔮 = 𝔭 \cdot 𝔮 .

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Dedekindbereich, wo jeder Restklassenring $\neq 0$ unendlich ist, und für einen Dedekindbereich, der einen Körper enthält und wo alle echten Restklassenringe endlich sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige: Ein kommutativer Ring $R$ ist genau dann noethersch, wenn es in $R$ keine unendliche echt aufsteigende Idealkette

𝔞_{1} \subset 𝔞_{2} \subset 𝔞_{3} \subset \dots

gibt.