Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 18

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In den drei folgenden Aufgaben wird der Begriff des primitiven Polynoms verwendet:


Ein Polynom heißt primitiv, wenn die Koeffizienten von teilerfremd sind.


Aufgabe (1 Punkt)

Sei ein Polynom. Zeige, dass man schreiben kann als mit und primitivem .


Aufgabe (3 Punkte)

Seien primitive Polynome. Zeige, dass dann auch das Produkt primitiv ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein irreduzibles Polynom. Dann ist , aufgefasst als Polynom in , ebenfalls irreduzibel.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein normaler Integritätsbereich und eine ganze Ringerweiterung. Sei . Zeige, dass für das von erzeugte Hauptideal gilt:


Aufgabe (5 Punkte)

Sei . Bestimme die Primideale in , die über den Primzahlen liegen.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Primzahl und betrachte die Körpererweiterung

vom Grad . Sei ein Element davon mit . Berechne das Minimalpolynom von und gebe die Koeffizienten davon explizit an. Bestimme insbesondere die Norm und die Spur von .

Welche Bedingungen an ergeben sich aus der Voraussetzung, dass ganz über ist?


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Dedekindbereich und seien und verschiedene Primideale . Dann gibt es einen Ringisomorphismus


Die folgende Aufgabe benutzt das Produkt von Idealen.


Zu zwei Idealen und in einem kommutativen Ring wird das Produkt durch

mit , definiert. Das ist das Ideal, das von allen Produkten (mit , ) erzeugt wird.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Dedekindbereich und seien und zwei verschiedene Primideale. Dann ist


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Dedekindbereich, wo jeder Restklassenring unendlich ist, und für einen Dedekindbereich, der einen Körper enthält und wo alle echten Restklassenringe endlich sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige: Ein kommutativer Ring ist noethersch genau dann, wenn es in keine unendliche echt aufsteigende Idealkette

gibt.