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Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 25/latex

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\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei ${\mathfrak f}$ ein \definitionsverweis {gebrochenes Ideal}{}{} $\neq 0$. Zeige unter Verwendung der Korrespondenz von Divisoren und gebrochenen Idealen, dass das inverse gebrochene Ideal ${\mathfrak f}^{-1}$ die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f}^{-1} }
{ =} { { \left\{ q \in Q(R) \mid q {\mathfrak f} \subseteq R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} hat.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ < }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {quadratfrei}{}{} und $A_D$ der zugehörige \definitionsverweis {imaginär-quadratische Zahlbereich}{}{.} Bestimme für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ \geq }{ -12 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Nichteinheiten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \in }{ A_D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit minimaler Norm.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei angenommen, dass jede ganze Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} eine Primfaktorzerlegung in $R$ besitzt. Zeige, dass dann $R$ bereits \definitionsverweis {faktoriell}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $A_D$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal $\neq 0$ in $A_D$. Zeige, dass das konjugierte Ideal $\overline{ {\mathfrak a} }$ in der \definitionsverweis {Klassengruppe}{}{} das Inverse zu ${\mathfrak a}$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ \neq }{ 0,1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {quadratfrei}{}{} und $A_D$ der zugehörige \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.} Es Es sei $p$ eine Primzahl, die in $A_D$ nicht \definitionsverweis {träge}{}{} sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen. \aufzaehlungvier{$p$ besitzt eine Primfaktorzerlegung in $A_D$. }{$p$ ist nicht \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} \zusatzklammer {also zerlegbar} {} {} in $A_D$. }{$p$ oder $-p$ ist die \definitionsverweis {Norm}{}{} eines Elementes aus $A_D$. }{$p$ oder $-p$ ist die Norm eines \definitionsverweis {Primelementes}{}{} aus $A_D$.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(f) }
{ = }{ {\mathfrak p}_1 \cdots {\mathfrak p}_k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Zerlegung in Primideale und es sei vorausgesetzt, dass $f$ eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zeige, dass die Primideale ${\mathfrak p}_i$ Hauptideale sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Im \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
\mathl{A_6 \cong \Z[\sqrt{6}]}{} gilt
\mathdisp {2\cdot 3 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} { . }
Finde die Primfaktorzerlegungen (?) der beteiligten Faktoren und des Produktes.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Im \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
\mathl{A_{-6} \cong \Z[\sqrt{-6}]}{} gilt
\mathdisp {- 2\cdot 3 = \sqrt{-6} \cdot \sqrt{-6}} { . }
Kann man diese Produkte weiter zerlegen, sind die beteiligten Faktoren prim?

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{D \leq -2}{} quadratfrei und betrachte
\mathl{R=\Z[\sqrt{D}]}{.} Zeige, dass die einzige Faktorisierung (bis auf Einheiten) von $D$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} { \sqrt{D} \sqrt{D} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Zeige damit, dass $\sqrt{D}$ irreduzibel ist. Zeige ferner, dass falls $-D$ keine Primzahl ist, dann auch $\sqrt{D}$ nicht prim in $R$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $D$ quadratfrei und betrachte
\mathl{\Z[\sqrt{D}] \subseteq A_D}{.} Charakterisiere für die beiden Ringe, wann $\sqrt{D}$ prim ist.

}
{} {}