Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 25

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Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Zahlbereich und sei ein gebrochenes Ideal . Zeige unter Verwendung der Korrespondenz von Divisoren und gebrochenen Idealen, dass das inverse gebrochene Ideal die Gestalt

hat.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei quadratfrei und der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Bestimme für die Nichteinheiten mit minimaler Norm.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Zahlbereich und sei angenommen, dass jede ganze Zahl , , eine Primfaktorzerlegung in besitzt. Zeige, dass dann bereits faktoriell ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein quadratischer Zahlbereich und sei ein Ideal in . Zeige, dass das konjugierte Ideal in der Klassengruppe das Inverse zu ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei quadratfrei und der zugehörige quadratische Zahlbereich. Sei eine Primzahl, die in nicht träge sei. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen.

  1. besitzt eine Primfaktorzerlegung in .
  2. ist nicht irreduzibel (also zerlegbar) in .
  3. oder ist die Norm eines Elementes aus .
  4. oder ist die Norm eines Primelementes aus .


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Zahlbereich und sei , . Es sei die Zerlegung in Primideale und es sei vorausgesetzt, dass eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zeige, dass die Primideale Hauptideale sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Im quadratischen Zahlbereich gilt

Finde die Primfaktorzerlegungen (?) der beteiligten Faktoren und des Produktes.


Aufgabe (2 Punkte)

Im quadratischen Zahlbereich gilt

Kann man diese Produkte weiter zerlegen, sind die beteiligten Faktoren prim?


Aufgabe (4 Punkte)

Sei quadratfrei und betrachte . Zeige, dass die einzige Faktorisierung (bis auf Einheiten) von durch

gegeben ist. Zeige damit, dass irreduzibel ist. Zeige ferner, dass falls keine Primzahl ist, dann auch nicht prim in ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei quadratfrei und betrachte . Charakterisiere für die beiden Ringe, wann prim ist.