Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 9/latex
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme für die Zahlen $n$ zwischen
\mathl{155}{} und
\mathl{159}{,} ob $n$ die Summe von zwei ganzzahligen Quadraten ist. Man gebe alle möglichen Darstellungen an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Finde für alle Zehnerpotenzen
\mathl{\geq 10}{} eine Darstellung als Summe von zwei positiven Quadraten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass eine Primzahl $p$ höchstens eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich auf mehrfache Weise als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen lässt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $n$ eine natürliche Zahl, in deren Primfaktorzerlegung $r$ Faktoren vorkommen. Wie viele Darstellungen als Summe von zwei Quadratzahlen besitzt $n$ maximal?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2-3}
{
Bestimme für eine oder mehrere Gaußsche Zahlen in \definitionsverweis {diesem Diagramm}{}{} (oder \definitionsverweis {diesem}{}{)} die Primfaktorzerlegung und trage das Ergebnis (mit Begründung) in den vorgesehenen Link ein. Man beschränke sich dabei auf Zahlen unterhalb der Hauptdiagonalen.
}
{} {}
Die Gitterpunkte im farbig hinterlegten Bereich und entlang seines Randes sind als Link anklickbar.
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass eine ganze Zahl $n$ genau dann die Differenz zweier Quadratzahlen ist, wenn der Exponent von $2$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ gleich $0$ oder $\geq 2$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{7 (1+1+1+4)}
{
Für einen Körper $K$ bezeichnet
\mathl{K^{\times 2} \subseteq K^\times}{} die Untergruppe aller Quadrate. Bestimme für die folgenden Körper die Restklassengruppe
\mathdisp {K^\times/K^{\times 2}} { . }
\aufzaehlungvier{$K$ ist ein endlicher Körper.
}{
\mathl{K=\mathbb R}{.}
}{
\mathl{K=\mathbb C}{.}
}{
\mathl{K=\mathbb Q}{.}
}
}
{} {}