Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 9

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Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die Zahlen zwischen und , ob die Summe von zwei ganzzahligen Quadraten ist. Man gebe alle möglichen Darstellungen an.


Aufgabe (2 Punkte)

Finde für alle Zehnerpotenzen eine Darstellung als Summe von zwei positiven Quadraten.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine Primzahl höchstens eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich auf mehrfache Weise als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen lässt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine natürliche Zahl, in deren Primfaktorzerlegung Faktoren vorkommen. Wie viele Darstellungen als Summe von zwei Quadratzahlen besitzt maximal?


Aufgabe (2-3 Punkte)

Bestimme für eine oder mehrere Gaußsche Zahlen in diesem Diagramm (oder diesem) die Primfaktorzerlegung und trage das Ergebnis (mit Begründung) in den vorgesehenen Link ein. Man beschränke sich dabei auf Zahlen unterhalb der Hauptdiagonalen.


Die Gitterpunkte im farbig hinterlegten Bereich und entlang seines Randes sind als Link anklickbar.

01234567891+i2+i3+i4+i5+i6+i7+i8+i9+i2+2i3+2i4+2i5+2i6+2i7+2i8+2i9+2i3+3i4+3i5+3i6+3i7+3i8+3i9+3i4+4i5+4i6+4i7+4i8+4i9+4i5+5i6+5i7+5i8+5i9+5i6+6i7+6i8+6i9+6i7+7i8+7i9+7i8+8i9+8i9+9iGaußsche Ebene, 1. Quadrant


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass eine ganze Zahl genau dann die Differenz zweier Quadratzahlen ist, wenn der Exponent von in der Primfaktorzerlegung von gleich oder ist.


Aufgabe (7 (1+1+1+4) Punkte)

Für einen Körper bezeichnet die Untergruppe aller Quadrate. Bestimme für die folgenden Körper die Restklassengruppe

  1. ist ein endlicher Körper.
  2. .
  3. .
  4. .