Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/T1/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 4 }

\renewcommand{\azwei}{ 4 }

\renewcommand{\adrei}{ 5 }

\renewcommand{\avier}{ 6 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 3 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 2 }

\renewcommand{\aneun}{ 5 }

\renewcommand{\azehn}{ 4 }

\renewcommand{\aelf}{ 4 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 8 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 67 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol



\mathdisp {\left( \frac{ 1117 }{ 1861 }\right)} { }
und bestimme, ob $1117$ ein Quadratrest modulo
\mathl{1861}{} ist oder nicht \zusatzklammer {$1861$ ist eine Primzahl} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme in
\mathl{\Z[ { \mathrm i} ]}{} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathl{23+2 { \mathrm i}}{} und
\mathl{1+23 { \mathrm i}}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Finde ein primitives Element in
\mathl{\Z/(11)}{} und in
\mathl{\Z/(121)}{.} Man gebe ferner ein Element der Ordnung $10$ und ein Element der Ordnung $11$ in
\mathl{\Z/(121)}{} an. Gibt es Elemente der Ordnung $10$ und der Ordnung $11$ auch in
\mathl{{\mathbb F}_{121}}{?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Sei
\mathl{R =A_{14}=\Z[\sqrt{14}]}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=14}{.} Berechne zu
\mathdisp {q= \frac{3}{5} - \frac{1}{7} \sqrt{14}} { }
den zugehörigen \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Sei
\mathl{p}{} eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe
\mathl{{ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}}{} zyklisch ist, dass
\mathl{-1}{} ein Quadratrest modulo
\mathl{p}{} genau dann ist, wenn
\mathl{p=1 \mod 4}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Man gebe ein Polynom $P \in {\mathbb Q}[X]$ an, das nicht zu
\mathl{\Z[X]}{} gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl $n$ gilt:
\mathl{P(n) \in \Z}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Sei $p$ eine Primzahl,
\mathl{q=p^{e}}{} mit
\mathl{e \geq 1}{} und sei ${\mathbb F}_q$ der Körper mit $q$ Elementen und
\mathl{R={\mathbb F}_q[X]}{} der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring $R/{\mathfrak a}$ zu einem Ideal
\mathl{{\mathfrak a} \neq 0}{} endlich ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak f} \subseteq \Q$, das durch die rationalen Zahlen
\mathdisp {\frac{3}{7}, \, \frac{5}{6}, \, \frac{3}{10}\,} { }
erzeugt wird.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit $6$ Elementen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs $A_{-7}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element
\mathdisp {f= \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \sqrt{-7}} { }
auf und berechne damit die Spur und die Norm von $f$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Sei $D \neq 1$ eine \definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{} mit
\mathl{D=1 \mod 4}{,} und sei $A_D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für
\mathl{\frac{1 - \sqrt{D} }{2}}{} über $\Z$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe
\mathl{\Z[\sqrt{D}] \subset R \subset A_D}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Zeige: Für eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ ist die Mersennesche Zahl $M_p$ \definitionsverweis {quasiprim}{}{} zur Basis $2$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Sei
\mathl{D \neq 0,1}{} eine \definitionsverweis {quadratfreie}{}{} Zahl und sei $A_D$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Definiere die Konjugation zu einem Element
\mathl{f \in \Q[\sqrt{D}]}{} und zu einem Element
\mathl{f \in A_D}{.} Definiere zu einem Ideal
\mathl{\mathfrak a \neq 0}{} das konjugierte Ideal $\overline{\mathfrak a}$ und zeige, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ und $\overline{ {\mathfrak a} }$ in der \definitionsverweis {Klassengruppe}{}{} invers zueinander sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei \maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0) } {} ein surjektiver \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} mit $\nu(f+g) \geq \min\{ \nu(f) , \nu(g)\}$ für alle $f,g \in K^\times$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Zeige unter Verwendung der \definitionsverweis {Norm}{}{,} dass jedes Element
\mathl{f \in R}{,}
\mathl{f \neq 0}{,} eine Faktorisierung in \definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{} besitzt.

}
{} {}