Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/T1/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 4 }
\renewcommand{\azwei}{ 4 }
\renewcommand{\adrei}{ 5 }
\renewcommand{\avier}{ 6 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 8 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 67 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left( \frac{ 1117 }{ 1861 }\right)} { }
und bestimme, ob $1117$ ein Quadratrest modulo
\mathl{1861}{} ist oder nicht
\zusatzklammer {$1861$ ist eine Primzahl} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme in
\mathl{\Z[ { \mathrm i} ]}{} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathl{23+2 { \mathrm i}}{} und
\mathl{1+23 { \mathrm i}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Finde ein primitives Element in
\mathl{\Z/(11)}{} und in
\mathl{\Z/(121)}{.} Man gebe ferner ein Element der Ordnung $10$ und ein Element der Ordnung $11$ in
\mathl{\Z/(121)}{} an. Gibt es Elemente der Ordnung $10$ und der Ordnung $11$ auch in
\mathl{{\mathbb F}_{121}}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{A_{14}
}
{ = }{\Z[\sqrt{14}]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{14
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} {\frac{3}{5} - \frac{1}{7} \sqrt{14}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den zugehörigen
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{p}{} eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe
\mathl{{ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}}{} zyklisch ist, dass
\mathl{-1}{} ein Quadratrest modulo
\mathl{p}{} genau dann ist, wenn
\mathl{p=1 \mod 4}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man gebe ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an, das nicht zu
\mathl{\Z[X]}{} gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl $n$ gilt:
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(n)
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $p$ eine Primzahl,
\mathl{q=p^{e}}{} mit
\mathl{e \geq 1}{} und sei ${\mathbb F}_q$ der Körper mit $q$ Elementen und
\mathl{R={\mathbb F}_q[X]}{} der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring $R/{\mathfrak a}$ zu einem Ideal
\mathl{{\mathfrak a} \neq 0}{} endlich ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak f} \subseteq \Q$, das durch die rationalen Zahlen
\mathdisp {\frac{3}{7}, \, \frac{5}{6}, \, \frac{3}{10}\,} { }
erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit $6$ Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs $A_{-7}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \sqrt{-7}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf und berechne damit die Spur und die Norm von $f$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $D \neq 1$ eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
mit
\mathl{D=1 \mod 4}{,} und sei $A_D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für
\mathl{\frac{1 - \sqrt{D} }{2}}{} über $\Z$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe
\mathl{\Z[\sqrt{D}] \subset R \subset A_D}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige: Für eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ ist die Mersennesche Zahl $M_p$ \definitionsverweis {quasiprim}{}{} zur Basis $2$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{D \neq 0,1}{} eine
\definitionsverweis {quadratfreie}{}{}
Zahl und sei $A_D$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.}
Definiere die Konjugation zu einem Element
\mathl{f \in \Q[\sqrt{D}]}{} und zu einem Element
\mathl{f \in A_D}{.} Definiere zu einem Ideal
\mathl{\mathfrak a \neq 0}{} das konjugierte Ideal $\overline{\mathfrak a}$ und zeige, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ und $\overline{ {\mathfrak a} }$ in der
\definitionsverweis {Klassengruppe}{}{}
invers zueinander sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0)
} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(f+g)
}
{ \geq }{\min\{ \nu(f) , \nu(g)\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ K^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Zeige unter Verwendung der
\definitionsverweis {Norm}{}{,}
dass jedes Element
\mathl{f \in R}{,}
\mathl{f \neq 0}{,} eine Faktorisierung in
\definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{}
besitzt.
}
{} {}