Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/T1/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 4 4 5 6 3 3 3 2 5 4 4 4 5 4 8 3 67



Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol


und bestimme, ob ein Quadratrest modulo ist oder nicht ( ist eine Primzahl).


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Aufgabe * (5 Punkte)

Finde ein primitives Element in und in . Man gebe ferner ein Element der Ordnung und ein Element der Ordnung in an. Gibt es Elemente der Ordnung und der Ordnung auch in ?


Aufgabe * (6 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne zu

den zugehörigen Hauptdivisor.


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe zyklisch ist, dass ein Quadratrest modulo genau dann ist, wenn ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom an, das nicht zu gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl gilt: .


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei eine Primzahl, mit und sei der Körper mit Elementen und der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring zu einem Ideal endlich ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal , das durch die rationalen Zahlen

erzeugt wird.


Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit Elementen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs . Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element

auf und berechne damit die Spur und die Norm von .


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei eine quadratfreie Zahl mit , und sei der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für über an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe gibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige: Für eine Primzahl ist die Mersennesche Zahl quasiprim zur Basis .


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei eine quadratfreie Zahl und sei ein quadratischer Zahlbereich. Definiere die Konjugation zu einem Element und zu einem Element . Definiere zu einem Ideal das konjugierte Ideal und zeige, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass und in der Klassengruppe invers zueinander sind.


Aufgabe * (8 Punkte)

Sei ein Körper und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit für alle . Zeige, dass

ein diskreter Bewertungsring ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element , , eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt.