Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/T1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	4	4	5	6	3	3	3	2	5	4	4	4	5	4	8	3	67

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

$\left({\frac {1117}{1861}}\right)$

und bestimme, ob ${}1117$ ein Quadratrest modulo ${}1861$ ist oder nicht (${}1861$ ist eine Primzahl).

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}23+2{\mathrm {i} }$ und ${}1+23{\mathrm {i} }$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Finde ein primitives Element in ${}\mathbb {Z} /(11)$ und in ${}\mathbb {Z} /(121)$. Man gebe ferner ein Element der Ordnung ${}10$ und ein Element der Ordnung ${}11$ in ${}\mathbb {Z} /(121)$ an. Gibt es Elemente der Ordnung ${}10$ und der Ordnung ${}11$ auch in ${}{\mathbb {F} }_{121}$?

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}R=A_{14}=\mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]$ der quadratische Zahlbereich zu ${}D=14$. Berechne zu

${}q={\frac {3}{5}}-{\frac {1}{7}}{\sqrt {14}}\,$

den zugehörigen Hauptdivisor.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch ist, dass ${}-1$ ein Quadratrest modulo ${}p$ genau dann ist, wenn ${}p=1\mod 4$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ an, das nicht zu ${}\mathbb {Z} [X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl ${}n$ gilt: ${}P(n)\in \mathbb {Z}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl, ${}q=p^{e}$ mit ${}e\geq 1$ und sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ der Körper mit ${}q$ Elementen und ${}R={\mathbb {F} }_{q}[X]$ der Polynomring darüber. Zeige, dass jeder Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ endlich ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {f}}\subseteq \mathbb {Q}$, das durch die rationalen Zahlen

${\frac {3}{7}},\,{\frac {5}{6}},\,{\frac {3}{10}}\,$

erzeugt wird.

Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativer Ringe mit ${}6$ Elementen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs ${}A_{-7}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element

${}f={\frac {3}{2}}+{\frac {5}{2}}{\sqrt {-7}}\,$

auf und berechne damit die Spur und die Norm von ${}f$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}D\neq 1$ eine quadratfreie Zahl mit ${}D=1\mod 4$, und sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für ${}{\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}$ über ${}\mathbb {Z}$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subset R\subset A_{D}$ gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige: Für eine Primzahl ${}p$ ist die Mersennesche Zahl ${}M_{p}$ quasiprim zur Basis ${}2$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich. Definiere die Konjugation zu einem Element ${}f\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ und zu einem Element ${}f\in A_{D}$. Definiere zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ das konjugierte Ideal ${}{\overline {\mathfrak {a}}}$ und zeige, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\overline {\mathfrak {a}}}$ in der Klassengruppe invers zueinander sind.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$\nu \colon (K^{\times },\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0)$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ${}\nu (f+g)\geq \min\{\nu (f),\nu (g)\}$ für alle ${}f,g\in K^{\times }$. Zeige, dass

${}R={\left\{f\in K^{\times }\mid \nu (f)\geq 0\right\}}\cup \{0\}\,$

ein diskreter Bewertungsring ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt.