Kurve/Morphismus/Rein-inseparabel/Grundgleichung/Vorgeschobener Divisor/Fakt/Beweis

Beweis

Die Kurvenabbildung ist eine Bijektion mit Verzweigungsordnung ${}p$ in jedem Punkt, die Erweiterung der diskreten Bewertungsringe ist durch ${}V\rightarrow V[X]/(X^{p}-b)=W$ mit einem  ${}b\in V$  gegeben. Für eine Ortsuniformisierende  ${}\pi _{1}\in V$  ist  ${}\pi _{2}=u\pi _{1}^{p}$  mit einer Einheit ${}u$. Für  ${}f\in W$  ist  ${}f^{p}\in V$  und aus

${}f=v\pi _{2}^{n}\,$

folgt direkt

${}f^{p}=v^{p}\pi _{2}^{pn}=v^{p}\pi _{1}^{n}\,,$

die Ordnung von ${}f$ oben stimmt also mit der Ordnung von ${}f^{p}$ unten überein.

Zur bewiesenen Aussage