Kurze exakte Sequenzen/Komplex/Verbindender Homomorphismus/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir betrachten das kommutative Diagramm

Ein Element wird repräsentiert durch ein Element , das unter der rechten vertikalen Abbildung auf abgebildet wird. Wegen der Exaktheit der -ten Zeile gibt es ein

das auf abbildet. Dieses Element wird unter der mittleren vertikalen Abbildung auf ein Element abgebildet, das nach rechts auf geht. Wegen der Exaktheit der -ten Zeile ist . Da auf in abgebildet wird, und da injektiv ist, folgt, dass auf in abgebildet wird. Daher definiert eine Klasse in .

Zur bewiesenen Aussage