Kurze exakte Sequenzen/Komplex/Verbindender Homomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}0&\longrightarrow &C_{n-1}&\longrightarrow &D_{n-1}&\longrightarrow &E_{n-1}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &C_{n}&\longrightarrow &D_{n}&\longrightarrow &E_{n}&\longrightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\longrightarrow &C_{n+1}&\longrightarrow &D_{n+1}&\longrightarrow &E_{n+1}&\longrightarrow &0.\\\end{matrix}}$

Ein Element ${}x\in H^{n-1}(E_{\bullet })$ wird repräsentiert durch ein Element ${}y\in E_{n-1}$, das unter der rechten vertikalen Abbildung auf ${}0$ abgebildet wird. Wegen der Exaktheit der ${}n-1$-ten Zeile gibt es ein

${}z\in D_{n-1}\,,$

das auf ${}y$ abbildet. Dieses Element wird unter der mittleren vertikalen Abbildung auf ein Element ${}u$ abgebildet, das nach rechts auf ${}0$ geht. Wegen der Exaktheit der ${}n$-ten Zeile ist ${}u=v\in C_{n}$. Da ${}u$ auf ${}0$ in ${}D_{n+1}$ abgebildet wird, und da ${}C_{n+1}\rightarrow D_{n+1}$ injektiv ist, folgt, dass ${}v$ auf ${}0$ in ${}C_{n+1}$ abgebildet wird. Daher definiert ${}v$ eine Klasse in ${}H^{n}(C_{\bullet })$.

Zur bewiesenen Aussage