Kurze exakte Sequenzen/Komplex/Verbindender Homomorphismus/Fakt

Es seien ${}C_{\bullet }$, ${}D_{\bullet }$ und ${}E_{\bullet }$ Komplexe in einer abelschen Kategorie mit Homomorphismen von Komplexen ${}\varphi \colon C_{\bullet }\rightarrow D_{\bullet }$ und ${}\psi \colon D_{\bullet }\rightarrow E_{\bullet }$ derart, dass kurze exake Sequenzen

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C_{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,D_{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,E_{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

für jedes ${}n$ vorliegen.

Dann gibt es einen natürlichen Homomorphismus

$H^{n-1}(E_{\bullet })\longrightarrow H^{n}(C_{\bullet }).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen