L^2-Raum/Stetige Linearform/Gradientenrealisierung/Identifizierung/Fakt

Es sei ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und ${}L^{2}(X)$ der zugehörige Lebesgueraum der quadratintegriebaren Funktionen. Es sei

$\varphi \colon L^{2}(X)\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine stetige Linearform.

Dann gibt es eine quadratintegrierbare Funktion ${}g\in L^{2}(X)$ mit

${}\varphi (f)=\int _{X}f{\overline {g}}d\mu \,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen