L^2-Raum/Stetige Linearform/Gradientenrealisierung/Identifizierung/Fakt

Es sei $(X,𝒜,\mu )$ ein $\sigma$-endlicher Maßraum und $L^2(X)$ der zugehörige Lebesgueraum der quadratintegriebaren Funktionen. Es sei

$\phi :L^2(X)⟶𝕂$

eine stetige Linearform.

Dann gibt es eine quadratintegrierbare Funktion  $g\in L^2(X)$  mit

$\phi (f)={\int }_{X}f\bar{g}d\mu .$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen