Laplace-Raum/Unabhängigkeit/Teilbarkeitsbedingung/Aufgabe

Es sei ${}(M,P)$ ein Laplace-Raum mit ${}n$ Elementen und seien ${}E,F\subseteq M$ Ereignisse.

1. Zeige, dass ${}E$ und ${}F$ genau dann unabhängig sind, wenn

   ${}n\cdot {\#\left(E\cap F\right)}={\#\left(E\right)}\cdot {\#\left(F\right)}\,$

   gilt.

2. Zeige durch ein Beispiel, dass nichtleere Ereignisse unabhängig sein können, ohne dass ihre Anzahlen Teiler von ${}n$ sind.
3. Es seien ${}r,s$ natürliche Zahlen mit ${}0\leq r,s\leq n$ und derart, dass ${}n$ ein Teiler von ${}rs$ ist. Zeige, dass es unabhängige Ereignisse in ${}M$ gibt, deren Anzahlen gleich ${}r$ bzw. ${}s$ sind.

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