Lebesgue-Raum/Unstetiger Repräsentant/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {K} }$ ein beliebiger Repräsentant. Wir betrachten ${}S:=U\cap \mathbb {Q} ^{n}$ und ${}T:=U\cap {\sqrt {2}}\cdot \mathbb {Q} ^{n}$. Dabei bezeichnet ${}{\sqrt {2}}\cdot \mathbb {Q} ^{n}$ die Menge derjenigen Zahlen, die in jeder Komponente ein rationales Vielfaches der irrationalen Zahl ${}{\sqrt {2}}$ sind. Die beiden Mengen sind zueinander disjunkt und beide abzählbar, daher ist auch ihre Vereinigung abzählbar. Wir ersetzen ${}f$ durch die Funktion ${}g$, die durch

${}g(P):={\begin{cases}0,{\text{ falls }}P\in S\,,\\1,{\text{ falls }}P\in T\,,\\f(P){\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definiert ist. Die beiden Funktionen unterscheiden sich nur auf einer Nullmenge, daher definieren sie die gleiche Klasse in ${}L^{2}(U,\lambda ^{n})$. Für jeden Punkt ${}P\in U$ und jede offene Umgebung ${}P\in U{\left(P,r\right)}\subseteq U$ sind die beiden Mengen ${}S\cap U{\left(P,r\right)}$ und ${}T\cap U{\left(P,r\right)}$

dicht, daher kann ${}g$ in ${}P$ nicht stetig sein.

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